Изменения: Теорема Коши о среднем значении

Версия от 16:18, 13 февраля 2008

Теорема Коши́ о среднем значении является обобщением теоремы Лагранжа о конечных приращениях.

Формулировка

Пусть на отрезке определены две непрерывные функции $f,g\in C\bigl([a,b]\bigr)$ . Пусть также $\forall x\in (a,b)$ существует конечная или бесконечная производная $f'(x)$ , а функция $g$ дифференцируема, то есть $g\in \mathcal{D}\bigl( (a,b) \bigr)$ , и $\forall x\in (a,b)\quad g'(x) \neq 0.$ Тогда

\exists c \in (a,b) \quad \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}

.

Cледствие

Полагая $g(x) = x,\quad x\in [a,b]$ , получаем теорему Лагранжа о конечных приращениях.

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''Теорема Коши́ о среднем значении''' утверждает, что
+'''Теорема Коши́ о среднем значении''' является обобщением теоремы Лагранжа о конечных приращениях.
-{{рамка}} если [[функция|функции]] <math>f</math> и <math>g</math> [[непрерывная функция|непрерывны]] на отрезке <math>[a; b]</math> и [[дифференцируемая функция|дифференцируемы]] в интервале <math>(a; b)</math>, при этом <math>g'</math> не обращается в ноль на <math>[a; b]</math>, то на этом отрезке найдётся такая точка <math>c</math>, что
-{{Формула|<math>{g'(c)}({f(a)-f(b)})={f'(c)}({g(a)-g(b)}).\,\!</math>|}}
-{{/рамка}}
+== Формулировка ==
-Геометрически это можно переформулировать так:
-{{рамка}} если <math>f</math> и <math>g</math> задают законы движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр <math>t</math>), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами <math>a</math> и <math>b</math>, найдётся [[вектор]], коллинеарный вектору перемещения от <math>(f(a); g(a))</math> до <math>(f(b); g(b))</math>.
-{{/рамка}}
+Пусть на отрезке определены две непрерывные функции <math>f,g\in C\bigl([a,b]\bigr)</math>. Пусть также <math>\forall x\in (a,b)</math> существует конечная или бесконечная производная <math>f'(x)</math>, а функция <math>g</math> дифференцируема, то есть <math>g\in \mathcal{D}\bigl( (a,b) \bigr)</math>, и <math>\forall x\in (a,b)\quad g'(x) \neq 0.</math> Тогда
-==Доказательство==
+:<math>\exists c \in (a,b) \quad \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}</math>.
-Для доказательства введём функцию
-{{Формула|<math>F(x) = f(x)-\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}(g(x)-g(a)).</math>|}}
+== Cледствие ==
-Для неё выполнены условия [[теорема Ролля|теоремы Ролля]]: на концах отрезка её значения равны <math>f(a)</math>. Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка <math>c</math>, в которой производная функции <math>F</math> равна нулю, а <math>\frac {f'(c)} {g'(c)}</math> равна как раз необходимому числу.
+Полагая <math>g(x) = x,\quad x\in [a,b]</math>, получаем теорему Лагранжа о конечных приращениях.
-Частным случаем теоремы Коши (при <math>g(x) = x</math>) является [[Формула конечных приращений|теорема Лагранжа]].
-==См. также==
-*[[Огюстен Луи Коши]]
 [[Категория:Математический анализ]]
 [[Категория:Теоремы|Коши]]
-[[en:Mean_value_theorem#Cauchy.27s_mean_value_theorem]]
-[[pl:Twierdzenie Cauchy'ego (rachunek różniczkowy)]]