Теорема Коши о среднем значении

Теорема Коши́ о среднем значении является обобщением теоремы Лагранжа о конечных приращениях.

Формулировка

Пусть на отрезке определены две непрерывные фунции $f,g\in C\bigl([a,b]\bigr)$. Пусть также $\forall x\in (a,b)$ существует конечная или бесконечная производная $f'(x)$, а функция $g$ дифференцируема, то есть $g\in \mathcal{D}\bigl( (a,b) \bigr)$, и $\forall x\in (a,b)\quad g'(x) \neq 0.$ Тогда

$\exists c \in (a,b) \quad \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$.

Cледствие

Полагая $g(x) = x,\quad x\in [a,b]$, получаем теорему Лагранжа о конечных приращениях.