Теорема Колмогорова

Теоре́ма Колмого́рова в математической статистике уточняет скорость сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу.

Формулировка

Пусть $X_1,\ldots,X_n,\ldots$ — бесконечная выборка из распределения, задаваемого непрерывной функцией распределения $F$. Пусть $\hat{F}$ — выборочная функция распределения, построенная на первых $n$ элементах выборки. Тогда

$\sqrt{n} \sup\limits_{x\in \mathbb{R}} \left| \hat{F}(x) - F(x) \right| \to K$ по распределению при $n \to \infty$,

где $K \sim \mathrm{K}$ — случайная величина, имеющая распределение Колмогорова.

Замечание

Неформально говорят, что скорость сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу имеет порядок $1/\sqrt{n}$.

См. также

• Теорема Гливенко — Кантелли.
• Критерий согласия Колмогорова