Теорема Кантора — Гейне

Теоре́ма Ка́нтора — Ге́йне в математическом и функциональном анализе гласит, что функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на нём.

Формулировка

Пусть даны два метрических пространства $(X,\varrho _{X})$ и $(Y,\varrho _{Y}).$ Пусть также дано компактное подмножество $K\subset X$ и определённая на нём непрерывная функция $f:K\to Y,f\in C(K).$ Тогда $f$ равномерно непрерывна на $K.$

Шаблон:Доказательство

Замечания

• В частности, непрерывная вещественнозначная функция, определённая на отрезке, $f:[a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ равномерно непрерывна на нём.
• В условиях теоремы компакт нельзя заменить на произвольное открытое множество. Например, функция

$f(x)={\frac {1}{x}},\;x\in (0,1)$

непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной. hu:Heine tétele