Математика
Advertisement



Эта статья содержит материал из статьи Теорема Больцано — Коши русской Википедии.

Теоре́ма Больца́но — Коши́ о промежуточных значениях непрерывной функции в математическом анализе и общей топологии — это утверждение, что если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Формулировка

Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть также и без ограничения общности предположим, что Тогда для любого существует такое, что

Следствия

  • (Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция принимает в концах отрезка положительное и отрицательное значение, то существует точка, в которой она равна нулю. Более точно пусть и Тогда такое, что
  • В частности любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль;


Обобщение

Теорема Больцано — Коши допускает обобщение на более общие топологические пространства. Всякая непрерывная функция , определенная на линейно связном топологическом пространстве, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними. Более точно пусть дано связное топологическое пространство и функция Пусть и Тогда

В частности, непрерывный образ линейно связного множества линейно связен.

История

Теорема Больцано — Коши была сформулирована независимо Больцано в 1817 и Коши в 1821.

Advertisement