Теорема Больцано — Коши

Эта статья содержит материал из статьи Теорема Больцано — Коши русской Википедии.

Теоре́ма Больца́но — Коши́ о промежуточных значениях непрерывной функции в математическом анализе и общей топологии — это утверждение, что если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Формулировка[]

Пусть дана непрерывная функция на отрезке $f\in C\bigl( [a,b] \bigr).$ Пусть также $f(a) \neq f(b),$ и без ограничения общности предположим, что $f(a) \equiv A < B \equiv f(b).$ Тогда для любого $C \in [A,B]$ существует $c\in[a,b]$ такое, что $f(c)=C.$

Следствия[]

(Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция принимает в концах отрезка положительное и отрицательное значение, то существует точка, в которой она равна нулю. Более точно пусть $f\in C\bigl([a,b]\bigr),$ и $f(a) f(b) < 0.$ Тогда $\exists c \in [a,b]$ такое, что $f(c) = 0.$
В частности любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль;

Обобщение[]

Теорема Больцано — Коши допускает обобщение на более общие топологические пространства. Всякая непрерывная функция $f: X \to \R$ , определенная на линейно связном топологическом пространстве, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними. Более точно пусть дано связное топологическое пространство $(X,\mathcal{T}),$ и функция $f\in C(X).$ Пусть $x_1,x_1\in X,\; f(x_1) = y_1,\; f(x_2) = y_2,$ и $y_1 < y_2.$ Тогда