Теорема Больцано — Вейерштрасса

Теоре́ма Больца́но — Вейерштра́сса гласит, что подмножество евклидово пространства секвенциально компактно тогда и только тоогда, когда оно замкнуто и ограничено.

Формулировки

• Пусть дано подмножество евклидова пространства $M \subset \R^m$, где $m \in \mathbb{N}$. Тогда $M$ секвенциально компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
• В частности любая ограниченная последовательность $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^m$ имеет сходящуюся подпоследовательность $\{x_{n_k}\}_{k\in \mathbb{N}}$.

История

Эта теорема доказана чешским математиком Больцано в 1817 году, позже она была независимо получена Вейерштрассом.