Сходимость по распределению

Сходи́мость по распределе́нию в теории вероятностей — вид сходимости случайных величин.

Определение[]

Пусть дано вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ и опеделённые на нём случайные величины $X,X_n:\Omega \to \mathbb{R}^m,\,n =1,2,\ldots$ . Каждая случайная величина индуцирует вероятностную меру на $\R^m$ , называемую её распределением.

Случайные величины $X_n$ сходятся по распределению к случайной величине $X$ , если распределения $\mathbb{P}^{X_n}$ слабо сходятся к распределению $\mathbb{P}^X$ , то есть

\lim\limits_{n \to \infty}\int\limits_{\mathbb{R}^m} f(x)\, \mathbb{P}^{X_n}(dx) = \int\limits_{\mathbb{R}^m} f(x)\, \mathbb{P}^{X}(dx)

для любой ограниченной борелевской функции $f:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ .

Замечания[]

Пользуясь теоремой о замене меры в интеграле Лебега, последнее равенство может быть переписано следующим образом:

\lim\limits_{n \to \infty}\mathbb{E}f(X_n) = \mathbb{E}f(X)

.

Предел по распределению не единственен. Если распределения двух случайных величин идентичны, то они одновременно являются или не являются пределом по распределению последовательности случайных величин.

Свойства сходимости по распределению[]

Случайные величины $X_n$ сходятся по распределению к $X$ , если их функции распределения $F_{X_n}$ сходятся к функции распределения предела $F _X$ во всех точках непрерывности последней:

F_X \in C(x) \Rightarrow \lim\limits_{n\to \infty} F_{X_n}(x) = F_X(x)

.

Если все случайные величины в определении дискретны, то $X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\!\mathcal{D}} X$ тогда и только тогда, когда имеется сходимость функций вероятности: