Сумма

Су́мма (лат. summa — итог, общее количество), результат сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства перестановочности, сочетательности, а также распределительности по отношению к умножению (если для рассматриваемых величин умножение определено), то есть выполнение соотношений:

а + b = b + а, а + (b + с) = (а + b) + с, (а + b) с = ас + bc, с (а + b) = ca + cb.

В теории множеств суммой (или объединением) множеств называется множество, элементами которого являются все элементы слагаемых множеств, взятые без повторений.

Определённая сумма

Часто для краткости сумму n слагаемых a_k, a_k+1, …, a_N обозначают заглавной греческой буквой Σ (сигма):

$a_{k}+a_{k+1}+...+a_{N}=\sum _{i=k}^{N}a_{i}$

Это обозначение называют определённой суммой a_i по i от k до N.

Свойства определённой суммы:

• $\sum _{i=k}^{N}{z\cdot a_{i}}=z\cdot \sum _{i=k}^{N}a_{i}$
• $\sum _{i=k}^{N}a_{i}+\sum _{i=N+1}^{M}a_{i}=\sum _{i=k}^{M}a_{i}$

Неопределённая сумма

Неопределённой суммой a_i по i называется такая функция f(i), обозначаемая $\sum _{i}^{}a_{i}$, что $\forall _{i}f(i+1)-f(i)=a_{i+1}$.

Формула Ньютона-Лейбница

Если найдена неопределённая сумма $\sum _{i}^{}a_{i}=f(i)$,

то $\sum _{i=k}^{N}a_{i}=f(N+1)-f(k)$. 

Этимология

Латинское слово summa переводится как «главный пункт», «сущность», «итог», «сумма». С XV века слово начинает употребляться в современном смысле, появляется глагол «суммировать» (1489 год).

Это слово проникло во многие современные языки: сумма в русском, sum в английском, somme во французском.

Специальный символ для обозначения суммы (S) первым ввёл Эйлер в 1755 году. Как вариант, использовалась греческая буква Сигма Σ. Позднее ввиду связи понятий суммирования и интегрирования, S также использовали для обозначения операции интегрирования.

См. также

• Контрольная сумма