Состоятельная оценка

Состоя́тельная оце́нка в математической статистике — это точечная оценка, сходящаяся по вероятности к оцениваемому параметру.

Определения

• Пусть $X_1,\ldots,X_n,\ldots$ — выборка из распределения, зависящего от параметра $\theta \in \Theta$. Тогда оценка $\hat{\theta} \equiv \hat{\theta}(X_1,\ldots,X_n)$ называется состоятельной, если

$\hat{\theta} \to \theta,\quad \forall \theta\in \Theta$ по вероятности при $n \to \infty$.

В противном случае оценка называется несостоятельной.

• Оценка $\hat{\theta}$ называется си́льно состоя́тельной, если

$\hat{\theta} \to \theta,\quad \forall \theta\in \Theta$ почти наверное при $n \to \infty$.

Свойства

• Из свойств сходимостей случайных величин имеем, что сильно состоятельная оценка всегда состоятельна. Обратное, вообще говоря, неверно.

Примеры

• Выборочное среднее $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i$ является состоятельной оценкой математического ожидания $X_i$.

• Периодограмма является несмещённой, но несостоятельной оценкой спектральной плотности.