Собственные векторы, значения и пространства

Определение собственного числа и собственного вектора квадратной матрицы

Собственным вектором квадратной матрицы M называется вектор ${\vec {v}}~,|{\vec {v}}|\not =0$, который удовлетворяет соотношению $M{\vec {v}}=\lambda {\vec {v}}$, где $\lambda$ — собственное значение, соответствующее данному собственному вектору. Одному собственному значению может соответствовать несколько (линейно независимых) собственных векторов, в таком случае говорят о собственном подпространстве для данного собственного значения. Собственными векторами линейного преобразования называются собственные векторы матрицы, определяющей это преобразование.

Свойства собственных векторов и значений

• Линейная комбинация собственных векторов матрицы $M$, соответствующих одному и тому же собственному значению $\lambda$, также является собственным вектором $M$ с собственным значением $\lambda$.

• Количество различных собственных значений не может превышать размер матрицы.

• Сумма размерностей собственных подпространств, соответствующих всем собственным значениям равна размерности матрицы (в случае рассмотрения комплексных чисел).

• Собственные векторы, самосопряженного оператора А соответствующие различным собственным значениям ортогональны. Т. е. если $M{\vec {v}}_{1}=\lambda _{1}v_{1}$, $M{\vec {v}}_{2}=\lambda _{2}v_{2}$ и $\lambda_1\ne\lambda_2$, то $(v_{1},v_{2})=0{\frac {}{}}$

Для произвольной матрицы это не верно.

Вычисление собственных векторов и значений методом прямых итераций

Самым простым способом численного нахождения собственных значений и собственных векторов является метод прямых итераций. Он заключается в построении последовательности векторов $\vec{v}_0$,$M{\vec {v}}_{0}$, $MM{\vec {v}}_{0}$,$MMM{\vec {v}}_{0}$ и т. д., то есть в многократном домножении случайного ненулевого начального вектора $v_0$ на матрицу M. Можно доказать, что если вектор $M{\vec {v}}_{0}$ имеет ненулевые проекции на все собственные векторы M (случайное взятие координат $\vec{v}_0$ гарантирует это с почти единичной вероятностью), то такой итеративный процесс сойдётся к собственному вектору $\vec{v}$, соответствующему максимальному собственному значению $\lambda_{max}$. Вычисление остальных собственных значений возможно с помощью вычитания проекции очередного вектора итераций на подпространство из уже полученных векторов.

Недостаток этого метода заключается в том, что он не работает на матрицах, у которых совпадает абсолютная величина каких-то двух собственных значений. Например, таким образом невозможно найти ни одного собственного вектора дискретного косинусного преобразования: так как оно является обратным по отношению к самому себе, то повторное его применение к случайному вектору приведёт к заведомо расходящейся последовательности, состоящей из двух чередующихся векторов.

Литература

• Чарльз Генри Эдвардс , Дэвид Э. Пенни Дифференциальные уравнения и проблема собственных значений: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB = Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling. — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. ISBN 978-5-8459-1166-7

Шаблон:Link FA Шаблон:Link FA Шаблон:Link FA

ar:قيمة ذاتية be-x-old:Уласныя лікі, вэктары й прасторы cs:Vlastní číslo da:Egenværdi, egenvektor og egenrum he:ערך עצמי hu:Sajátvektor és sajátérték lt:Tikrinių verčių lygtis nl:Eigenwaarde (wiskunde) no:Egenvektor pl:Wartość własna sl:Lastna vrednost sv:Egenvärde, egenvektor uk:Власний вектор ur:ویژہ قدر vi:Vectơ riêng