Словарь терминов теории групп

Для общего описания теории групп, смотри группа (математика) и теория групп.

Курсив обозначает ссылку на этот словарь. Шаблон:АБВ p-группа — группа все элементы в которой имеет порядок равный некоторой степени простого числа $p$ (не обязательно одинаковой у всех элементов). Также говорят о примарной группе. Более подробно см. в статье конечная p-группа.

А

Абелева группа. см. коммутативная группа

Аддитивная группа кольца ― группа, элементами которой являются все элементы данного кольца, а операция совпадает с операцией сложения в кольце.

Г

Группа

Группа Шмидта — это ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны.

Группа Миллера-Морено — это неабелева группа, все собственные подгруппы которой абелевы.

Главный ряд подгрупп — ряд подгрупп, в котором $G_i$ — максимальная нормальная в $G$ подгруппа из $G_{i+1}$, для всех членов ряда.

Гомоморфизм групп — отображение групп f : (G,*) → (H,×) такое, что

f(a * b) = f(a) × f(b)

для произвольных a и b в G.

Д

Действие группы

Длина ряда подгрупп — число $n$ в определении ряда подгрупп.

Е

Естественный гомоморфизм на факторгруппу по нормальной подгруппе $H$ — это гомоморфизм, ставящий в соответствие каждому элементу $a$ группы смежный класс $aH$. Ядром этого гомоморфизма является подгруппа $H$.

И

Изоморфизм групп — биективный гомоморфизм.

Изоморфные группы — группы, между которыми существует хотя бы один изоморфизм.

Индекс подгруппы H в G — мощность (т.е. количество) правых (или левых) классов смежности. Обычно обозначается [G : H]. Для конечных группы G, индекс её подгруппы равен отношению порядков [G : H] = |G |/|H|.

Индексы ряда подгрупп — индексы $|G_{i+1}:G_{i}|$ в определении субнормального ряда подгрупп.

К

Класс смежности/смежный класс (правый или левый) подгруппы H в G. Правый класс смежности элемента $g \in G$ по подгруппе H в G есть множество

$gH=\{gh|h\in H\}.$

Аналогично определяется левый класс смежности:

$Hg=\{hg|h\in H\}.$

Класс сопряжённости элемента $g \in G$ есть множество

$\{hgh^{-1}|h\in G\}.$

Коммутант группы есть подгруппа, порождённая всеми коммутаторами группы, обычно обозначается [G,G] или $G'$.

Коммутативная группа. Группа G является коммутативной, или абелевой, если её операция * коммутативна, то есть g*h=h*g $\forall g,h\in G$.

Коммутатор элементов g и h есть элемент $[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh$.

Коммутатор подгрупп

Конечная группа — группа с конечным числом элементов.

Конечная p-группа — p-группа конечного порядка $p^n$.

Конечно определённая группа — группа, обладающая конечным числом образующих и задаваемая в этих образующих конечным числом соотношений.

Конечнопорождённая группа — группа, обладающая конечной системой образующих.

Кручение, TorG, коммутативной или нильпотентной группы G есть подгруппа всех элементов конечного порядка.

Л

Локальное свойство группы $G$. Говорят, что группа $G$ обладает локальным свойством $P$, если любая конечно порождённая подгруппа из $G$ обладает этим свойством. Примерами могут служить локальная конечность, локальная нильпотентность.

Локальная теорема. Говорят, что для некоторого свойства $P$ групп справедлива локальная теорема, если всякая группа, локально обладающая этим свойством, сама обладает им. Локальная теорема справедлива, например, в классе абелевых групп, но не справедлива в классе конечных групп.

М

Метабелева группа ― группа, второй коммутант которой тривиален (разрешимая ступени 2).

Метациклическая группа ― группа, обладающая циклической нормальной подгруппой, факторгруппа по которой также циклическая. Всякая конечная группа, порядок которой свободен от квадратов (т. е. не делится на квадрат какого-либо числа), является метациклической.

Минимальная нормальная подгруппа

Мультипликативная группа тела ― группа, элементами которой являются все ненулевые элементы данного тела, а операция совпадает с операцией умножения в теле.

Н

Нильпотентная группа — группа, обладающая центральным рядом подгрупп. Минимальная из длин таких рядов называется её классом нильпотентности.

Норма группы — совокупность элементов группы, перестановочных со всеми подгруппами, то есть пересечение нормализаторов всех её подгрупп.

Нормализатор подгруппы H в G — это максимальная подгруппа G, в которой H нормальна. Иначе говоря, нормализатор есть стабилизатор H при действии G на множестве своих подгрупп сопряжениями, то есть

$N(H)=\{g\in G|gHg^{-1}=H\}.$

Нормальная подгруппа (инвариантная подгруппа, нормальный делитель). H есть нормальная подгруппа G, если для любого элемента g в G gH = Hg, то есть правые и левые классы смежности H в G совпадают. Иначе говоря, если $\forall g \in G\quad \forall h \in H\quad ghg^{-1} \in H$.

Нормальный ряд подгрупп - ряд подгрупп, в котором $G_i$ нормальна в $G$, для всех членов ряда.

О

Образующая

П

Перестановочные элементы — пара элементов $a, b \in G$ такие что $ab = ba$.

Период группы ― наименьшее общее кратное порядков элементов данной группы.

Периодическая группа ― группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок.

Подгруппа — подмножество H группы G, которое является группой относительно операции, определённой в G.

Подгруппа кручения см. кручение.

Для произвольного подмножества S в G, <S> обозначает наименьшую подгруппу G, содержащую S.

Подгруппа Томпсона $J(G)$ группы $G$ — подгруппа, порождённая всеми абелевыми подгруппами максимального порядка из $G$.

Подгруппа Фиттинга $F(G)$ группы $G$ — подгруппа, порождённая всеми нильпотентными нормальными подгруппами из $G$.

Подгруппа Фраттини $\Phi(G)$ группы $G$ — есть пересечение всех максимальных подгрупп группы $G$, если таковые существуют, и сама группа $G$ в противном случае.

Полинильпотентная группа

Полупрямое произведение групп G и H над гомоморфизмом $\phi: G \rightarrow \mbox{Aut}(H)$ (обозначается по разному, в том числе G ⋊_φ H) — множество G × H, наделенное операцией *, для которой $(g_1, h_1) * (g_2, h_2) = (g_1\phi(h_1)(g_2), h_1h_2)$ для любых $g_1,g_2 \in G$, $h_1,h_2\in H$.

Порядок группы (G,*) — мощность G (т.е. число её элементов).

Порядок элемента g группы G — минимальное натуральное число m такое, что g^m = e. В случае, если такого m не существует, считается, что g имеет бесконечный порядок.

Простая группа — группа, в которой нет нормальных подгрупп, кроме тривиальной {e} и всей группы.

Примарная группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа $p$ (не обязательно одинаковой у всех элементов). Также говорят о p-группе.

Прямое произведение двух групп (G,·) и (H,•) есть множество G×H пар, наделённое операцией покомпонентного умножения: (g₁,h₁)(g₂,h₂) = (g₁ · g₂,h₁•h₂).

Р

Разрешимая группа — группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с абелевыми факторами. Наименьшая из длин таких рядов называется её ступенью разрешимости.

Разрешимый радикал $S(G)$ группы $G$ — подгруппа, порождённая всеми разрешимыми нормальными подгруппами из $G$.

Ряд подгрупп. Конечная последовательность подгрупп, $G_0, G_1, ..., G_n$ называется рядом подгрупп, если $G_i \leq G_{i+1}$, для всех $i\in\left\{0,...,n-1\right\},~G_0=1,~G_n=G$. Такой ряд записывают в виде

$1=G_{0}\leq G_{1}\leq ...\leq G_{n}=G$

или в виде

$G=G_{n}\geq G_{n-1}\geq ...\geq G_{0}=1$

С

Сверхразрешимая группа — группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с циклическими факторами.

Свободная группа. Свободной группой, порождённой множеством $A$, называется группа, порождённая элементами этого множества и не имеющая никаких соотношений, кроме соотношений, определяющих группу. Все свободные группы, порождённые равномощными множествами, изоморфны.

Свободное произведение

Силовская подгруппа — $p$-подгруппа в $G$, имеющая порядок $p^n$, где $|G| = p^ns$, НОД$(p,s)=1$.

Соотношение — тождество, которому удовлетворяют все образующие группы(при задании группы образующими и соотношениями).

Стабилизатор элемента $p$ множества $M$, на котором действует группа $G$ - подгруппа $St_{G}(p)\subset G$, все элементы которой оставляют $p$ на месте: $g\cdot p = p$.

Субнормальный ряд подгрупп — ряд подгрупп, в котором подгруппа $G_i$ нормальна в подгруппе $G_{i+1}$, для всех членов ряда.

Ф

Факторгруппа группы G по нормальной подгруппе H есть множество классов смежности подгруппы H с умножением, определяемым следующим образом:

$(aH)*(bH)=(ab)H.$

Факторы субнормального ряда — фактор-группы $G_{i+1}/G_{i}$ в определении субнормального ряда подгрупп.

Х

Характеристическая подгруппа — подгруппа, инвариантная относительно всех автоморфизмов группы.

Холлова подгруппа — подгруппа, порядок которой взаимно прост с её индексом во всей группе.

Ц

Центр группы G, обычно обозначается Z(G), определяется как

Z(G) = {$g \in G$ | gh = hg для любого $h \in G$},

иначе говоря, это максимальная подгруппа элементов, коммутирующих с каждым элементом G.

Централизатор элемента есть максимальная подгруппа, коммутирующая с этим элементом.

Центральный ряд подгрупп — нормальный ряд подгрупп, в котором $G_{i+1}/G_{i}\subseteq Z(G/G_{i})$, для всех членов ряда.

Циклическая группа - группа, состоящая из порождающего элемента и всех его целых степеней. Конечна в случае, если порядок порождающего элемента конечен.

Э

Экспонента $\exp(G)$ конечной группы $G$ — числовая характеристика группы, равная наименьшему общему кратному порядков всех элементов группы $G$.

Я

Ядро гомоморфизма — прообраз нейтрального элемента при гомоморфизме. Ядро всегда есть нормальная подгруппа, более того, любая нормальная подгруппа есть ядро некоторого гомоморфизма.