Математика
Advertisement

Определения[1]

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1, (1)
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все ее уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система вида (1) называется определенной, если она имеет единственное решение; если же у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Матричная форма

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

или, согласно правилу перемножения матриц,

AX = B.

Методы решения системы (1)

Прямые методы

Приближенные методы

См. также

  • Недоопределённая система

Примечания

  1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.


ar:نظام المعادلات الخطية ca:Sistema lineal d'equacions cs:Soustava lineárních rovnic eo:Sistemo de linearaj ekvacioj et:Lineaarvõrrandisüsteem fa:دستگاه معادلات خطی hr:Sustav linearnih jednadžbi pl:Układ równań liniowych sr:Систем линеарних једначина sv:Linjärt ekvationssystem ur:یکلخت لکیری مساوات کا نظام vi:Hệ phương trình tuyến tính

Advertisement