Определения[1][]
Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1, | (1) |
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2, | |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm. |
Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной.
Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.
Решение системы (1) — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все ее уравнения в тождества.
Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.
Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.
Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:
c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2). |
Совместная система вида (1) называется определенной, если она имеет единственное решение; если же у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.
Матричная форма[]
Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:
или, согласно правилу перемножения матриц,
- AX = B.
Методы решения системы (1)[]
Прямые методы[]
- Метод Гаусса
- Метод Жордана-Гаусса
- Метод Крамера
- Матричный метод
- Метод прогонки - Для трехдиагональных матриц
Приближенные методы[]
- Метод Якоби (метод итераций)
- Метод Зейделя
- Метод релаксации
- Многосеточный метод
См. также[]
- Недоопределённая система
Примечания[]
- ↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.
ar:نظام المعادلات الخطية
ca:Sistema lineal d'equacions
cs:Soustava lineárních rovnic
eo:Sistemo de linearaj ekvacioj
et:Lineaarvõrrandisüsteem
fa:دستگاه معادلات خطی
hr:Sustav linearnih jednadžbi
pl:Układ równań liniowych
sr:Систем линеарних једначина
sv:Linjärt ekvationssystem
ur:یکلخت لکیری مساوات کا نظام
vi:Hệ phương trình tuyến tính