Свя́зное двоето́чие, или двоеточие Александрова — наиболее простой содержательный пример нехаусдорфова топологического пространства в общей топологии.
Определение[]
Связным двоеточием называется топологическое пространство, образованное множеством из двух элементов («открыто») и («замкнуто»), топология на котором задана следующим перечнем трёх открытых подмножеств:
- — пустое множество;
- — множество из одного элемента «открыто»;
- — всё пространство.
Описание[]
Помимо пустого множества и всего двоеточия, его открытым подмножеством является только , а замкнутым — только . Мы видим, что точка не имеет окрестностей кроме всего пространства, следовательно пространство нарушает аксиому T1, а значит и не является хаусдорфовым. Также мы видим что точка не является замкнутым подмножеством.
Свойства[]
Отображение из топологического пространства в связное двоеточие является непрерывным тогда и только тогда, когда прообраз точки открыт в (или, что то же самое, прообраз точки замкнут в ). Данное свойство обосновывает названия точек связного двоеточия.
Литература[]
Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. ISBN 5-354-00822-0
Эта статья содержит материал из статьи Связное двоеточие русской Википедии.