Ряд Тейлора

Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора.

Пусть функция $f(x)$ бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки ${a}$, тогда ряд

$f(x)=f(a)+\sum _{k=1}^{\infty }{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}$

называется рядом Тейлора функции $f$ в точке $a$.

В случае, если $a=0$, этот ряд иногда называется рядом Маклорена.

Если $f$ есть аналитическая функция, то её ряд Тейлора в любой точке $a$ области определения $f$ сходится к $f$ в некоторой окрестности $a$.

Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

• Пусть функция $f(x)$ имеет $n+1$ производную в некоторой окрестности точки $a$, $U(a,\epsilon )$
• Пусть $x\in U(a,\epsilon )$
• Пусть $p$ — произвольное положительное число,

тогда: $\exists$ точка $\xi \in (x,a)$ при $x<a$ или $\xi \in (a,x)$ при $x>a$:

$f(x)=f(a)+\sum _{k=1}^{n}{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}+\left({x-a \over x-\xi }\right)^{p}{(x-\xi )^{n+1} \over n!p}f^{(n+1)}(\xi )$

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форме Шлемильха — Роша).

Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

$R_{n+1}(x)={(x-a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=n+1$

В форме Коши:

$R_{n+1}(x)={(x-a)^{n+1}(1-\theta )^{n} \over n!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=1$

Ослабим предположения:

• Пусть функция $f(x)$ имеет $n-1$ производную в некоторой окрестности точки $a$
• И $n$ производную в самой точке $a$, тогда:

$R_{n+1}(x)=o[(x-a)^{n}]$ — остаточный член в асимптотической форме (форме Пеано)

Ряды Тейлора некоторых функций

• Экспонента: $\mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$ для всех $x$
• натуральный логарифм: $\ln(1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}x^{n+1}$ для $\left|x\right|<1$
• ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}$ для $\left|x\right|<1$
• Биномиальное разложение: $(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}$ для всех $\left|x\right|<1\quad {\mbox{ and all complex }}\alpha$
• Тригонометрические функции:
  • $\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}$ для всех $x$
  • $\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}$ для всех $x$
  • $\operatorname {tg} x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}$ для $\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$
  • $\sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}$ для $\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$
  • $\arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}$ для $\left|x\right|<1$
  • $\operatorname {arctg} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}$ для $\left|x\right|<1$
• Гиперболические функции:
  • $\operatorname {sh} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}$ для всех $x$
  • $\operatorname {ch} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}$ для всех $x$
  • $\operatorname {th} \left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}$ для $\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$
  • $\operatorname {areash} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}$ для $\left|x\right|<1$
  • $\operatorname {areath} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}$ для $\left|x\right|<1$

Интересные факты

Несмотря на то, что фамилия Тейлор правильно произносится с ударением на первом слоге, некоторые преподаватели старой закалки любят говорить Тейлóр и таким образом проверять кто же из студентов ходил на лекции, а кто нет. В некоторых случаях подобный трюк проделывают с фамилией <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu0411%5Cu0430%5Cu043d%5Cu0430%5Cu0445%5Cu0430%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu0411%5Cu0430%5Cu043d%5Cu0430%5Cu0445%22%2C%22wasblank%22%3Afalse%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu0411%5Cu0430%5Cu043d%5Cu0430%5Cu0445%7C%5Cu0411%5Cu0430%5Cu043d%5Cu0430%5Cu0445%5Cu0430%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-7752124154f252a814fc05" href="/index.php?title=%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85&amp;amp;action=edit&amp;amp;redlink=1" class="new" title="Банах (такой страницы не существует)">Банаха</a>.

Литература

• В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов "Математический анализ" ч. 1, изд. 3, ред. А.Н. Тихонов, изд.: Проспект 2004
• В. Ю. Киселёв, А. С. Пяртли, Т. Ф. Калугина, Высшая математика. Первый семестр,

Ссылки

• Визуализация ряда Тейлора

he:טור טיילור hu:Taylor-sor nl:Taylorreeks pl:Szereg Taylora sl:Taylorjeva vrsta sv:Taylorserie