Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций . Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора .
Пусть функция
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
a
{\displaystyle {a}}
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
∑
k
=
1
∞
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
{\displaystyle f(x) = f(a)+\sum_{k=1}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k}
называется рядом Тейлора функции
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
В случае, если
a
=
0
{\displaystyle a = 0}
рядом Маклорена .
Если
f
{\displaystyle f}
аналитическая функция , то её ряд Тейлора в любой точке
a
{\displaystyle a}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
Формула Тейлора [ ] Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении . Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.
Теорема:
Пусть функция
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
производную в некоторой окрестности точки
a
{\displaystyle a}
U
(
a
,
ϵ
)
{\displaystyle U(a, \epsilon)}
Пусть
x
∈
U
(
a
,
ϵ
)
{\displaystyle x\in U(a, \epsilon) }
Пусть
p
{\displaystyle p}
тогда:
∃
{\displaystyle \exists}
ξ
∈
(
x
,
a
)
{\displaystyle \xi\in (x,a)}
x
<
a
{\displaystyle x < a}
ξ
∈
(
a
,
x
)
{\displaystyle \xi\in (a,x)}
x
>
a
{\displaystyle x > a}
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
∑
k
=
1
n
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
+
(
x
−
a
x
−
ξ
)
p
(
x
−
ξ
)
n
+
1
n
!
p
f
(
n
+
1
)
(
ξ
)
{\displaystyle f(x) = f(a) + \sum_{k=1}^n {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k + \left({x - a \over x - \xi}\right)^p{(x - \xi)^{n+1}\over n! p}f^{(n+1)}(\xi)}
Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форме Шлемильха — Роша ).
В форме Лагранжа :
R
n
+
1
(
x
)
=
(
x
−
a
)
n
+
1
(
n
+
1
)
!
f
(
n
+
1
)
[
a
+
θ
(
x
−
a
)
]
p
=
n
+
1
{\displaystyle R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = n+1}
В форме Коши :
R
n
+
1
(
x
)
=
(
x
−
a
)
n
+
1
(
1
−
θ
)
n
n
!
f
(
n
+
1
)
[
a
+
θ
(
x
−
a
)
]
p
=
1
{\displaystyle R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} (1 - \theta)^n \over n!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = 1}
Ослабим предположения:
Пусть функция
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
a
{\displaystyle a}
И
n
{\displaystyle n}
a
{\displaystyle a}
R
n
+
1
(
x
)
=
o
[
(
x
−
a
)
n
]
{\displaystyle R_{n+1}(x) = o[(x - a)^n ]}
Пеано ) Ряды Тейлора некоторых функций [ ] Экспонента :
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
{\displaystyle \mathrm{e}^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}}
x
{\displaystyle x}
натуральный логарифм :
ln
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
n
+
1
x
n
+
1
{\displaystyle \ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1}}
|
x
|
<
1
{\displaystyle \left| x \right| < 1}
1
1
−
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
{\displaystyle \frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n}
|
x
|
<
1
{\displaystyle \left| x \right| < 1}
Биномиальное разложение :
(
1
+
x
)
α
=
∑
n
=
0
∞
(
α
n
)
x
n
{\displaystyle (1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n}
|
x
|
<
1
and all complex
α
{\displaystyle \left| x \right| < 1\quad\mbox{ and all complex } \alpha}
Тригонометрические функции :
sin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
{\displaystyle \sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}}
x
{\displaystyle x}
cos
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
x
2
n
{\displaystyle \cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}}
x
{\displaystyle x}
tg
x
=
∑
n
=
1
∞
B
2
n
(
−
4
)
n
(
1
−
4
n
)
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
{\displaystyle \operatorname{tg} x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}}
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \left|x\right| < \frac{\pi}{2}}
sec
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
E
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
{\displaystyle \sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}}
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \left|x\right| < \frac{\pi}{2}}
arcsin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
{\displaystyle \arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}}
|
x
|
<
1
{\displaystyle \left| x \right| < 1}
arctg
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
n
+
1
x
2
n
+
1
{\displaystyle \operatorname{arctg} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}}
|
x
|
<
1
{\displaystyle \left| x \right| < 1}
Гиперболические функции :
sh
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
1
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
{\displaystyle \operatorname{sh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}}
x
{\displaystyle x}
ch
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
1
(
2
n
)
!
x
2
n
{\displaystyle \operatorname{ch} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}}
x
{\displaystyle x}
th
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
B
2
n
4
n
(
4
n
−
1
)
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
{\displaystyle \operatorname{th}\left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}}
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \left|x\right| < \frac{\pi}{2}}
areash
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
{\displaystyle \operatorname{areash} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}}
|
x
|
<
1
{\displaystyle \left| x \right| < 1}
areath
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
1
2
n
+
1
x
2
n
+
1
{\displaystyle \operatorname{areath} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}}
|
x
|
<
1
{\displaystyle \left| x \right| < 1}
Интересные факты [ ] Несмотря на то, что фамилия Тейлор правильно произносится с ударением на первом слоге, некоторые преподаватели старой закалки любят говорить Тейлóр и таким образом проверять кто же из студентов ходил на лекции, а кто нет. В некоторых случаях подобный трюк проделывают с фамилией Банаха.
Литература [ ] Ссылки [ ] 
![{\displaystyle R_{n+1}(x)={(x-a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=n+1}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/e18418469b3867d5cbbcef8eac93711a3ddd2b04)
![{\displaystyle R_{n+1}(x)={(x-a)^{n+1}(1-\theta )^{n} \over n!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=1}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/5b1d09be68dc926e8d5c08d058797a24e50e6404)
![{\displaystyle R_{n+1}(x)=o[(x-a)^{n}]}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/ee9170a69e01b3e1818ab82e8dd1268b8c6bfa39)
