Математика
Advertisement

Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора.

Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки , тогда ряд

называется рядом Тейлора функции в точке .

В случае, если , этот ряд иногда называется рядом Маклорена.

Если есть аналитическая функция, то её ряд Тейлора в любой точке области определения сходится к в некоторой окрестности .

Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

  • Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки ,
  • Пусть
  • Пусть — произвольное положительное число,

тогда: точка при или при :

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форме Шлемильха — Роша).

Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:


В форме Коши:

Ослабим предположения:

  • Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки
  • И производную в самой точке , тогда:
— остаточный член в асимптотической форме (форме Пеано)

Ряды Тейлора некоторых функций

Интересные факты

Несмотря на то, что фамилия Тейлор правильно произносится с ударением на первом слоге, некоторые преподаватели старой закалки любят говорить Тейлóр и таким образом проверять кто же из студентов ходил на лекции, а кто нет. В некоторых случаях подобный трюк проделывают с фамилией <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu0411%5Cu0430%5Cu043d%5Cu0430%5Cu0445%5Cu0430%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu0411%5Cu0430%5Cu043d%5Cu0430%5Cu0445%22%2C%22wasblank%22%3Afalse%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu0411%5Cu0430%5Cu043d%5Cu0430%5Cu0445%7C%5Cu0411%5Cu0430%5Cu043d%5Cu0430%5Cu0445%5Cu0430%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-7752124154f252a814fc05" href="/index.php?title=%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85&amp;amp;action=edit&amp;amp;redlink=1" class="new" title="Банах (такой страницы не существует)">Банаха</a>.

Литература

Ссылки

he:טור טיילור hu:Taylor-sor nl:Taylorreeks pl:Szereg Taylora sl:Taylorjeva vrsta sv:Taylorserie

Advertisement