Рациональное число

 Рациона́льное число́ —это число, представляемое обыкновенной дробью $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, $n$ — натуральное число. При этом число $m$ называется числителем, а число $n$ — знаменателем дроби $\frac{m}{n}$.

Определение

Рассмотрим семейство пар $(m,n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}$. Назовём две пары эквивалентными: $(m,n) \sim (m',n')$, если

$m\cdot n' = m' \cdot n$.

Легко проверить, что введённое таким образом бинарное отношение $\sim$ является отношением эквивалентности на $\mathbb{Z}\times \mathbb{N}$. Фактор-множество $\mathbb{Q} \equiv \mathbb{Z} \times \mathbb{N} / \sim$ называется множеством рациональных чисел, а класс эквивалентности $\bigl[(m,n)\bigr]$ рациональным числом.

Обозначение

принято использовать дробную запись:

$q = \bigl[(m,n)\bigr] \equiv \frac{m}{n}\in \mathbb{Q}.$

Упорядоченное

Бинарные операции

Введём на множестве $\mathbb{Q}$ бинарные операции сложения $+$ и умножения $\cdot$ на основе аналогичных операций на множестве целых чисел следующим образомect">п:

$\bigl[(m_1,n_1)\bigr] + \bigl[(m_2,n_2)\bigr] = \bigl[(m_1 \cdot n_2 + n_1 \cdot m_2, n_1 \cdot n_2 )\bigr];$

$\bigl[(m_1,n_1)\bigr] \cdot \bigl[(m_2,n_2)\bigr] = \bigl[( m_1 \cdot m_2, n_1 \cdot n_2 )\bigr].$

Или в дробной записи.:

Литература

• И.Кушнир. Справочник по математике для школьников. — Киев: АСТАРТА, 1998. — 520 с.

См. также

• Иррациональное число
• Дроби Фарея

Шаблон:Категория только в статьях