Рациональное число

 Рациона́льное число́ —это число, представляемое обыкновенной дробью ${\frac {m}{n}}$, где $m$ — целое число, $n$ — натуральное число. При этом число $m$ называется числителем, а число $n$ — знаменателем дроби ${\frac {m}{n}}$.

Определение

Рассмотрим семейство пар $(m,n)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N}$. Назовём две пары эквивалентными: $(m,n)\sim (m',n')$, если

$m\cdot n'=m'\cdot n$.

Легко проверить, что введённое таким образом бинарное отношение $\sim$ является отношением эквивалентности на $\mathbb {Z} \times \mathbb {N}$. Фактор-множество $\mathbb {Q} \equiv \mathbb {Z} \times \mathbb {N} /\sim$ называется множеством рациональных чисел, а класс эквивалентности ${\bigl [}(m,n){\bigr ]}$ рациональным числом.

Обозначение

принято использовать дробную запись:

$q={\bigl [}(m,n){\bigr ]}\equiv {\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q} .$

Упорядоченное

Бинарные операции

Введём на множестве $\mathbb {Q}$ бинарные операции сложения $+$ и умножения $\cdot$ на основе аналогичных операций на множестве целых чисел следующим образомect">п:

${\bigl [}(m_{1},n_{1}){\bigr ]}+{\bigl [}(m_{2},n_{2}){\bigr ]}={\bigl [}(m_{1}\cdot n_{2}+n_{1}\cdot m_{2},n_{1}\cdot n_{2}){\bigr ]};$

${\bigl [}(m_{1},n_{1}){\bigr ]}\cdot {\bigl [}(m_{2},n_{2}){\bigr ]}={\bigl [}(m_{1}\cdot m_{2},n_{1}\cdot n_{2}){\bigr ]}.$

Или в дробной записи.:

Литература

• И.Кушнир. Справочник по математике для школьников. — Киев: АСТАРТА, 1998. — 520 с.

См. также

• Иррациональное число
• Дроби Фарея

Шаблон:Категория только в статьях