Мера называется распределением случайной величины .
Способы задания распределений[]
Определение 2. Функция называется (кумулятивной) функцией распределения случайной величины . Из свойств вероятности вытекает
Теорема 1. Функция распределения любой случайной величины удовлетворяет следующим трем свойствам:
- функция неубывающая;
;
непрерывна справа.
Из того факта, что борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой порождается семейством интервалов вида , вытекает
Теорема 2. Любая функция , удовлетворяющая трём свойствам, перечисленным выше, является фукцией распределения для какого-то распределения .
Для вероятностных распределений, обладающих определенными свойствами, существуют более удобные способы задания его задания.
Дискретные распределения[]
Определение 2. Случайная величина называется простой или дискретной, если она принимает не более, чем счётное число значений. То есть , где - разбиение .
Распределение простой случайной величины тогда по определению задается: . Введя обозначение , можно задать функцию . Очевидно, что . Используя счётную аддитивность , легко показать, что эта функция однозначно определяет распределение .
Определение 3. Функция , где часто называется дискретным распределением.
Пример 1. Пусть функция задана таким образом, что и . Эта функция задает распределение случайной величины такой, что .
Теорема 3. Дискретное распределение обладает следующими свойствами:
;
.
Непрерывные распределения[]
Непрерывное распределение — распределение вероятностей, не имеющее атомов. Любое распределение вероятностей есть смесь дискретного и непрерывного.
Абсолютно непрерывные распределения[]
Определение 4. Распределение случайной величины называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная функция , такая что . Функция тогда называется плотностью распределения случайной величины .
Пример 2. Пусть , когда , и иначе. Тогда , если .
Очевидно, что для любой плотности распределения верно равенство . Верна и обратная
Теорема 4. Если функция такая, что:
;
,
то существует распределение такое, что является его плотностью.
Просто применение формулы Ньютона-Лейбница приводит к простому соотношению между кумулятивной функцией и плотностью абсолютно непрерывного распределения.
Теорема 5. Если - непрерывная плотность распределения, а - его кумулятивная функция, то