Распределение биномиальной выборки

Биномиальная выборка (binomial sample) — статистическая выборка, каждый элемент которой отобран с вероятностью, равной обратному числу элементов данной выборки.

Основные характеристики распределения биномиальной выборки[]

Пространство элементарных событий распределения биномиальной выборки содержит одну выборку различимых неупорядоченных элементов, объём которой $n_i,\quad i=1,\ldots,n$ может лежать в пределах от нуля до конечного положительного числа элементов $n\quad(n_i=n_n=n)$ включительно.

Вероятность распределения биномиальной выборки объёмом $n_i$ элементов равна

{\displaystyle P(n_i)= {n\choose n_i} p_i={n\choose n_i}2^{-n}, }

где $P(n_i)$ — вероятность произвольного выбора $n_i$ элементов из $n$ возможных с вероятностью $p_{i}=2^{-n},\quad i=1,\ldots ,n$ каждого из них;

\sum _{0}^{n}{{n} \choose {n_{i}}}=2^{n}

— общее число всевозможных выборок объемом $n_i$ различимых неупорядоченных элементов;

сумма всех вероятностей распределения биномиальной выборки равна единице, что рассматривают как выполнение условия нормирования вероятностей согласно второй аксиоме аксиоматики Колмогорова

{\displaystyle \sum_{n_i=0}^{n_i=n}P(n_i)=\sum_{n_i=0}^{n_i=n}{{n\choose n_i} p_i}=\sum_{n_i=0}^{n_i=n}{n\choose n_i}2^{-n}=1. }

Математическое ожидание распределения биномиальной выборки

{\displaystyle P(n_i)_{max}=\frac {n!}{0,5n!}2^{-n}. }

Математическое ожидание биномиальной выборки

{\displaystyle M(n_i)=0,5n,\quad i=1,\ldots,n }

имеет место, когда объем выборки равен половине элементов исходного $n-$ множества.

Дисперсия распределения биномиальной выборки

{\displaystyle D(n_i)= p_i(1-p_i), \quad i=1,\ldots,n }

совпадает с дисперсией распределения Бернулли.

Свойства распределения биномиальной выборки[]

1. Вероятность биномиальной выборки является симметричной функцией относительно своего математического ожидания.

2. С ростом числа элементов степень отклонения случайно определенных теоретических параметров от их реальных значений практически сводится к нулю.

Некоторые примеры практического применения распределения биномиальной выборки[]

1. Если в ходе боевых действий артиллерийская батарея потеряет управление (например, командира) и вынуждена случайным образом вести обстрел, то с наибольшей вероятностью она будет вести залповой огонь одновременно с половины орудий, имеющихся у нею в наличии.

2. Если происходит ограбление банка и/или кассы супермаркета, при котором равновероятными случайными события является весь спектр возможных случаев от неудачного до полного ограбления, то чаще всего будет украдена половина имеющейся в наличии суммы денег.

3. Если происходит отлов ценных пород рыб или отстрел редких и/или ценных диких животных, то в результате с наибольшей вероятностью останутся половины интересующих нас популяций. Это дает научно обоснованные сведения для принятия решений на выдачу квот на их отлов и/или отстрел.

Распределение биномиальной выборки

Содержание

Основные характеристики распределения биномиальной выборки[]

Свойства распределения биномиальной выборки[]

Некоторые примеры практического применения распределения биномиальной выборки[]

См.также[]