Распределение Стьюдента

Распределение Стьюдента

Плотность вероятности Файл:Student densite best.JPG
Функция распределения Файл:T distributionCDF.png
Параметры	$n>0\!$ - число степеней свободы
Носитель	$x \in (-\infty;+\infty)\!$
Плотность вероятности	${\frac {\Gamma ((n+1)/2)}{{\sqrt {n\pi }}\,\Gamma (n/2)\,(1+x^{2}/n)^{(n+1)/2}}}\!$
Функция распределения	${\frac {1}{2}}+{\frac {x\Gamma \left((n+1)/2\right)\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},(n+1)/2;{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{n}}\right)}{{\sqrt {\pi n}}\,\Gamma (n/2)}}$ где $\,_{2}F_{1}$ - гипергеометрическая функция
Математическое ожидание	$0$
Медиана	$0$
Мода	$0$
Дисперсия	${\frac {n}{n-2}}\!$ если $n>2$
Коэффициент асимметрии	$0$ если $n>3$
Коэффициент эксцесса	${\frac {3n-6}{n-4}}\!$ где $n>4$
Информационная энтропия	${\begin{matrix}{\frac {n+1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+n}{2}})-\psi ({\frac {n}{2}})\right]\\[0.5em]+\log {\left[{\sqrt {n}}B({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}})\right]}\end{matrix}}$ $\psi =\Gamma '/\Gamma$, $B$: бета-функция
Производящая функция моментов	не определена
Характеристическая функция

Распределе́ние Стью́дента в теории вероятностей - это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Определение

Пусть $Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}$ - независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что $Y_{i}\sim \mathrm {N} (0,1),\;i=1,\ldots ,n$. Тогда распределение случайной величины $t$, где

$t={\frac {Y_{0}}{\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}Y_{i}^{2}}}}$

называется распределением Стьюдента с $n$ степенями свободы. Пишут $t\sim \mathrm {t} (n)$. Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность

$f_{t}(y)={\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{{\sqrt {\pi n}}\,\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\,\left(1+{\frac {y^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}$,

где $\Gamma$ - гамма-функция.

Свойства распределения Стьюдента

• Распределение Стьюдента симметрично. В частности если $t\sim \mathrm {t} (n)$, то

$-t\sim \mathrm {t} (n)$.

Моменты

Случайная величина $t\sim \mathrm {t} (n)$ имеет только моменты порядков $k < n$, причём

$\mathbb {E} \left[t^{k}\right]=0$, если $k$ нечётно;

$\mathbb {E} \left[t^{k}\right]={\frac {\Gamma ({\frac {k+1}{2}})\Gamma ({\frac {n-k}{2}})^{k/2}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}$, если $k$ чётно.

В частности,

$\mathbb {E} [t]=0$,

$\mathrm {D} [t]={n \over n-2}$, если $n>2$.

Моменты порядков $k \geq n$ не определены.

Связь с другими распределениями

• Распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:

$\mathrm {t} (1)\equiv \mathrm {C} (0,1)$.

• Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при $n \to \infty$. Пусть дана последовательность случайных величин $\{t_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, где $t_{n}\sim \mathrm {t} (n),\;n\in \mathbb {N}$. Тогда

$t_{n}\to \mathrm {N} (0,1)$ по распределению при $n \to \infty$.

• Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, имеет распределение Фишера. Пусть $t\sim \mathrm {t} (n)$. Тогда

$t^{2}\sim \mathrm {F} (0,n)$.

Применение распределения Стьюдента

Распределение Стьюдента используется в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения. В частности, пусть $X_1,\ldots ,X_n$ независимые случайные величины, такие что $X_{i}\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2}),\;i=1,\ldots ,n$. Обозначим $\bar{X}$ выборочное среднее этой выборки, а $S^2$ её выборочную дисперсию. Тогда

${\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}\sim \mathrm {t} (n-1)$.

Процентили

Вероятностные распределения Одномерные Многомерные Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное

править

ca:Distribució t de Student cs:Studentovo rozdělení nl:Studentverdeling pl:Rozkład Studenta su:Sebaran-t student sv:Students t-fördelning uk:T-розподіл Стьюдента