Распределение Парето

**Распределение Парето**
Плотность вероятности Файл:Pareto distributionPDF.png $x_m = 1$
Функция распределения Файл:Pareto distributionCDF.png $x_m = 1$
Параметры	$x_{m}>0\,$ - коэффициент сдвига $k > 0\,$
Носитель	$x \in [x_\mathrm{m}; +\infty)\!$
Плотность вероятности	$\frac{k\,x_\mathrm{m}^k}{x^{k+1}}\!$
Функция распределения	$1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^k\!$
Математическое ожидание	$\frac{\,kx_\mathrm{m}}{k-1}\!$ , если $k > 1$
Медиана	$x_\mathrm{m} \sqrt[k]{2}$
Мода	$x_\mathrm{m}\,$
Дисперсия	$\frac{x_\mathrm{m}^2k}{(k-1)^2(k-2)}\!$ for $k>2$
Коэффициент асимметрии	$\frac{2(1+k)}{k-3}\,\sqrt{\frac{k-2}{k}}\!$ for $k>3$
Коэффициент эксцесса	$\frac{6(k^3+k^2-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}\!$ for $k>4$
Информационная энтропия	$\ln\left(\frac{k}{x_\mathrm{m}}\right) - \frac{1}{k} - 1\!$
Производящая функция моментов	не определена
Характеристическая функция	$k(-ix_\mathrm{m}t)^k\Gamma(-k,-ix_\mathrm{m}t)\,$

Распределе́ние Паре́то в теории вероятностей - это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Определение[]

Пусть случайная величина $X$ такова, что её распределение задаётся равенством:

\mathbb{P}(X > x) = \left(\frac{x}{x_m}\right)^{-k},\; \forall x \ge x_m

,

где $x_m,k>0$ . Тогда говорят, что $X$ имеет распределение Парето с параметрами $x_m$ и $k$ . Плотность распределения Парето имеет вид:

{\displaystyle f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{kx_m^k}{x^{k+1}}, & x \ge x_m \\ 0, & x < x_m \end{matrix} \right..}

Моменты случайной величины, имеющей распределение Парето, задаются формулой:

\mathbb{E}\left[X^n\right] = \frac{kx_m^n}{k-n}

,

откуда в частности:

\mathbb{E}[X] = \frac{kx_m}{k-1}

,

\mathrm{D}[X] = \left(\frac{x_m}{k-1}\right)^2 \frac{k}{k-2}

.

	Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли \| биномиальное \| геометрическое \| гипергеометрическое \| логарифмическое \| отрицательное биномиальное \| Пуассона \| равномерное	мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета \| Вейбулла \| Гамма \| Колмогорова \| Коши \| логнормальное \| Лоренца \| нормальное (Гаусса) \| равномерное \| Парето \| Стьюдента \| Фишера \| хи-квадрат \| экспоненциальное \| Эрланга	многомерное нормальное

Эта статья содержит материал из статьи Распределение Парето русской Википедии.