Распределение Гомпертца

Шаблон:Сирота

Шаблон:Cleanup-rewrite

Закон распределения Гомпертца — статистическое распределение, описывающее смертность человека и некоторых животных.

Распределение было получено актуарием и математиком-самоучкой Бенджамином Гомпертцом (Benjamin Gompertz) в 1825 году.

Пусть $S(t)$ — вероятность, что человек доживёт до возраста $t$ лет. Для исключения из рассмотрения проблемы детской смертности будем считать, что $t > 25$. Гомпертц обнаружил, что функция смертности, которая определяется соотношением $\mu (t) = { - \frac{d(\ln S(t))} {{dt }}}$, может быть аппроксимирована как

$\mu (t) = \mu (25) \cdot \exp \left( {\frac{{t - 25}} {{t_1 }}} \right)$,

где $t_1\sim10$ лет, $\mu(25)\sim 3 \cdot 10^{-4}$. Тогда закон распределения вероятности может быть записан виде:

$S(t) = \exp \left[ {\mu (25) \cdot \exp \left( {\frac{{t - 25}} {{t_1 }}} \right)} \right]$.

Другими словами, размер популяции уменьшается с возрастом по двойной экспоненте, что намного быстрее скорости уменьшения аналогичных величин в неживой природе. Например, распад радиоактивных элементов подчиняется простому (однократному) экспоненциальному закону:

$S(t) = \exp \left( { - \frac{t} {{t_0 }}} \right)$.

Литература

• Gompertz, B., 1825. On the Nature of the Function Expressive of the Law of Human Mortality, and on a New Mode of Determining the Value of Life Contingencies. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Vol. 115 (1825)pp. 513-585.

• Leonid A. Gavrilov and Natalia S. Gavrilova, The Biology of Life Span: A Quantitative Approach. New York: Harwood Academic Publisher - 1991, ISBN 3-7186-4983-7

• Gavrilov, L.A., Nosov, V.N. A new trend in human mortality decline: derectangularization of the survival curve. — Age, 1985, 8(3): 93-93.

• Gavrilov, L.A., Gavrilova, N.S., Nosov, V.N. Human life span stopped increasing: Why? — Gerontology, 1983, 29(3): 176-180. PMID 6852544

• Shklovskii, B. I. A simple derivation of the Gompertz law for human mortality — Интересный вывод этого закона

uk:Закон смертності Ґомпертца-Мейкгама