Распределение Вейбулла
Плотность вероятности
Функция распределения
Параметры
λ
>
0
{\displaystyle \lambda > 0\,}
коэффициент масштаба ,
k
>
0
{\displaystyle k > 0\,}
Носитель
x
∈
[
0
;
+
∞
)
{\displaystyle x \in [0; +\infty)\,}
Плотность вероятности
(
k
/
λ
)
(
x
/
λ
)
(
k
−
1
)
e
−
(
x
/
λ
)
k
{\displaystyle (k/\lambda) (x/\lambda)^{(k-1)} e^{-(x/\lambda)^k}}
Функция распределения
1
−
e
−
(
x
/
λ
)
k
{\displaystyle 1- e^{-(x/\lambda)^k}}
Математическое ожидание
λ
Γ
(
1
+
1
k
)
{\displaystyle \lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,}
Медиана
λ
ln
(
2
)
1
/
k
{\displaystyle \lambda\ln(2)^{1/k}\,}
Мода
λ
(
k
−
1
)
1
k
k
1
k
,
{\displaystyle {\frac {\lambda (k-1)^{\frac {1}{k}}}{k^{\frac {1}{k}}}},}
k
>
1
{\displaystyle k > 1}
Дисперсия
λ
2
Γ
(
1
+
2
k
)
−
μ
2
{\displaystyle \lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}\,}
Коэффициент асимметрии
Γ
(
1
+
3
k
)
λ
3
−
3
μ
σ
2
−
μ
3
σ
3
{\displaystyle \frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}}
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
γ
(
1
−
1
k
)
+
(
λ
k
)
k
+
ln
(
λ
k
)
{\displaystyle \gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\left(\frac{\lambda}{k}\right)^k
+\ln\left(\frac{\lambda}{k}\right)}
Производящая функция моментов
Характеристическая функция
Распределе́ние Ве́йбулла (иначе — распределение Вейбулла-Гнеденко) в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений . Названо в честь шведского инженера Валодди Вейбулла (Waloddi Weibull, 1887—1979).
Определение [ ] Пусть распределение случайной величины
X
{\displaystyle X}
плотностью
f
X
(
x
)
{\displaystyle f_X(x)}
f
X
(
x
)
=
{
k
λ
(
x
λ
)
k
−
1
e
−
(
x
λ
)
k
,
x
≥
0
0
,
x
<
0
.
{\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k}},&x\geq 0\\0,&x<0\end{matrix}}\right..}
Тогда говорят, что
X
{\displaystyle X}
X
∼
W
(
k
,
λ
)
{\displaystyle X\sim \mathrm {W} (k,\lambda )}
Моменты [ ] Моменты случайной величины
X
{\displaystyle X}
E
[
X
n
]
=
λ
n
Γ
(
1
+
n
k
)
{\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right)}
откуда
E
[
X
]
=
λ
Γ
(
1
+
1
k
)
{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)}
D
[
X
]
=
λ
2
[
Γ
(
1
+
2
k
)
−
Γ
2
(
1
+
1
k
)
]
{\displaystyle \mathrm {D} [X]=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma ^{2}\left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]}
Связь с другими распределениями [ ]
E
x
p
(
λ
)
≡
W
(
1
,
1
λ
)
{\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda )\equiv \mathrm {W} \left(1,{\frac {1}{\lambda }}\right)}
λ
(
−
ln
U
)
1
/
k
∼
W
(
k
,
λ
)
{\displaystyle \lambda \left(-\ln U\right)^{1/k}\sim \mathrm {W} (k,\lambda )}
Ссылки [ ]
Эта статья содержит материал из статьи Распределение Вейбулла русской Википедии.
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right)}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/c8cb5ff3d280d32a966b4cead788e36bace56e35)
![{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/4a6996382219b6a2abf7a5838d083034827a75dc)
![{\displaystyle \mathrm {D} [X]=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma ^{2}\left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/d146adc6b505c5b3ed9a1e48cad8cfac498b2a28)
