Распределение Бернулли

Распределение Бернулли

Функция вероятности плотность вероятности
Функция распределения функния распределения
Параметры	$p\in(0,1)\,$ $q\equiv 1-p\,$
Носитель	$k=\{0,1\}\,$
Функция вероятности	${\begin{matrix}q&k=0\\p&k=1\end{matrix}}$
Функция распределения	${\begin{matrix}0&x<0\\q&0\leq x<1\\1&x\geq 1\end{matrix}}$
Математическое ожидание	$p\,$
Медиана
Мода	$\textrm{max}(p,q)\,$
Дисперсия	$pq\,$
Коэффициент асимметрии	$\frac{q-p}{\sqrt{pq}}$
Коэффициент эксцесса	$\frac{6p^2-6p+1}{p(1-p)}$
Информационная энтропия	$-q\ln q-p\ln p \,$
Производящая функция моментов	$q+pe^t\,$
Характеристическая функция	$q+pe^{it}\,$

Распределе́ние Берну́лли моделирует случайный эксперимент произвольной природы, когда заранее известна вероятность успеха или неудачи.

Определение

Случайная величина $X$ имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: $1$ и $0$ с вероятностями $p$ и $q\equiv 1-p$ соответственно. Таким образом:

$\mathbb{P}(X=1) = p$,

$\mathbb{P}(X=0) = q$.

Принято говорить, что событие $\{X=1\}$ соответствует «успеху», а $\{X=0\}$ «неудаче». Эти названия условные, и в зависимости от конкретной задачи могут быть заменены на противоположные.

Моменты распределения Бернулли

$\mathbb{E}[X] = p$,

$\operatorname{D}[X] = pq$.

Вообще, легко видеть, что

$\mathbb{E}\left[X^n\right] = p,\; \forall n \in \mathbb{N}$.

Схема Бернулли

Последовательность $\{ X_n \}_{n=1}^\infty$ независимых случайных величин, имеющих распределение Бернулли, называется схемой Бернулли. Физически схема Бернулли моделирует многократное проведение независимых реализаций одного и того же случайного эксперимента с двумя исходами: успех и неудача. Случайное событие $\{X_i=1\}$ соответствует успеху в результате $i$-го испытания, а событие $\{X_i=0\}$ соответствует неудаче.

См. также

• Биномиальное распределение;
• Геометрическое распределение;
• Отрицательное биномиальное распределение;
• Бернулли, Якоб.

Вероятностные распределения Одномерные Многомерные Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное

править

Эта статья содержит материал из статьи Распределение Бернулли русской Википедии.