Равностепенная непрерывность

Не следует путать с термином «Равномерная непрерывность».

Равностепенная непрерывность — свойство семейства непрерывных функций.

Определение

Пусть $X$, $Y$ — компактные метрические пространства и $C(X, Y)$ — множество непрерывных отображений $X$ в $Y$. Множество $D\in C(X,Y)$ называется равностепенно непрерывным, если для любого $\epsilon > 0$ существует такое $\delta > 0$, что из $d_X(x,y)<\delta$ вытекает $d_Y(f(x),f(y))<\epsilon$ для любой $f\in D$.

Свойства

• По теореме Арцела — Асколи, равностепенная непрерывность $D$ эквивалентна относительной компактности $D$ в $C(X, Y)$, наделенном метрикой

  $\rho(f,g) = \max_{x\in X} d_X(f(x),g(x).$

Вариации и обобщения

Понятие равностепенной непрерывности переносится на топологические пространства.

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1081;
• Эдвардс Р., Функциональный анализ, пер. с англ., IT., 1969.

Эта статья содержит материал из статьи Равностепенная непрерывность русской Википедии.