Равномерная сходимость

Равномерная сходимость последовательности функций (отображений) — свойство последовательности $f_{n}:X\to Y$, где $X$ — произвольное множество, $Y=(Y,d)$ — метрическое пространство, $n = 1, 2,\dots$, к функции (отображению) $f: X \to Y$, означающее, что для любого $\varepsilon > 0$ существует такой номер $N_\varepsilon$, что для всех номеров $n>N_{\varepsilon }$ и всех точек $x \in X$ выполняется неравенство

$d(f_{n}(x),f(x))<\varepsilon .$

Обычно обозначается $f_{n}\rightrightarrows f$.

Это условие равносильно тому, что

$\lim _{n\to \infty }\sup _{x\in X}d(f_{n}(x),f(x))=0.$

Пример

• Последовательность $f_n(x)=x^n$, $n = 1, 2,\dots$ равномерно сходится на любом отрезке $[0, a]$, $0 < a < 1$ и не сходится равномерно на отрезке $[0,1]$.

Свойства

• Если $Y$ — линейное нормированное пространство и последовательности отображений $f_{n}:X\to Y$ и $g_{n}:X\to Y$, $n = 1, 2,\dots$ равномерно сходятся на множестве $X$, то последовательности $\{f_{n}+g_{n}\}$ также как и $\{\alpha f_{n}\}$ при любых $\alpha \in \R$ также равномерно сходятся на $X$.

• Для вещественно-значных функций (или, более общо, если $Y$ — линейное нормированное кольцо), последовательность отображений $f_{n}:X\to \mathbb {R}$, равномерно сходится на множестве $X$ и $g:X \to \mathbb{R}$ ограниченное отображение, то последовательность $\{gf_{n}\}$ также равномерно сходится на $X$.

• Если $X$ — топологическое пространство, $Y$ — метрическое пространство и последовательность непрерывных в точке $x_0 \in X$ отображений $f_{n}:X\to Y$ равномерно сходится на множестве $X$ к отображению $f: X \to Y$, то это отображение также непрерывно в точке $x_0$.

• Если последовательность интегрируемых по Риману (по Лебегу) функций $f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R}$ равномерно сходится на отрезке $[a, b]$ к функции $f:[a,b]\to\R$, то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу), и для любого $x \in [a, b]$ имеет место равенство
      $\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{x}f_{n}(t)dt=\int _{a}^{x}f(t)dt$
  и сходимость последовательности функций
      $x\mapsto \int _{a}^{x}f_{n}(t)dt$
  на отрезке $[a, b]$ к функции
      $x\mapsto \int _{a}^{x}f(t)dt$
  равномерна.

• Если последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке $[a, b]$ функций $f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R}$, сходится в некоторой точке $x_0$, a последовательность их производных равномерно сходится на $[a, b]$, то последовательность $\{ f_n \}$ также равномерно сходится на $[a, b]$, её предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией.

Литература

• Александров П. С, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977;
• Колмогоров А. Н., Фомин С . В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд.. М., 1981;
• Келли Дж. Л., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1951.

he:התכנסות במידה שווה pl:Zbieżność jednostajna