Пфаффиан

Пфаффиан — характеристика кососимметричной матрицы.

Определитель кососимметричной матрицы можно представить как квадрат некоторого многочлена от элементов матрицы. Этот многочлен называется пфаффиан. Как и определитель, пфаффиан не обнуляется только для $2n \times 2n$ кососимметричных матриц и в этом случае является многочленом степени $n$ от элементов матрицы.

Примеры

${\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a\\-a&0\end{bmatrix}}=a.$

${\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc.$

${\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{n}\\-\lambda _{n}&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.$

Стандартное определение

Пусть $\Pi$ обозначает множество всех разбиений $\{1,2,..,2n\}$ на неупорядоченные пары (всего существует $(2n-1)!!$ таких разбиений). Разбиение $\alpha \in \Pi$, может быть записано

$\alpha =\{(i_{1},j_{1}),(i_{2},j_{2}),\cdots ,(i_{n},j_{n})\}$

где $i_{k}<j_{k}$ и $i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}$. Пусть

$\pi ={\begin{bmatrix}1&2&3&4&\cdots &2n\\i_{1}&j_{1}&i_{2}&j_{2}&\cdots &j_{n}\end{bmatrix}}$

обозначает соответственную перестановку, определим знак ${\mbox{sgn}}(\alpha )$ как знак перестановки ${\mbox{sgn}}(\pi )$. Нетрудно видеть что ${\mbox{sgn}}(\alpha )$ не зависит от выбора $\pi$.

Пусть $A=\{a_{ij}\}$ обозначает $2n \times 2n$ кососимметричную матрицу. Для разбиения $\alpha$ определим

$A_{\alpha }=\operatorname {sgn} (\alpha )a_{i_{1},j_{1}}a_{i_{2},j_{2}}\cdots a_{i_{n},j_{n}}.$

Теперь можно определить пфаффиан $A$ как

$\operatorname {Pf} (A)=\sum _{\alpha \in \Pi }A_{\alpha }.$

Пфаффиан $n \times n$ кососимметричной матрицы для нечётного $n$ является нулём по определению.

Альтернативное определение

Для $2n \times 2n$ кососимметричной матрицы $A=\{a_{ij}\}$ рассмотрим бивектор:

$\omega =\sum _{i<j}a_{ij}\;e_{i}\wedge e_{j}.$

где $\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{2n}\}$ есть стандартный базис в $\mathbb R^{2n}$. Тогда пфаффиан определяется следующим уравнением:

${\frac {1}{n!}}\omega ^{n}={\mbox{Pf}}(A)\;e_{1}\wedge e_{2}\wedge \dots \wedge e_{2n},$

где $\omega ^{n}$ обозначает внешнее произведение $n$ копий $\omega$.

Свойства

Для $2n \times 2n$ кососимметричной матрицы $A$ и для произвольной $2n \times 2n$ матрицы $B$:

• ${\mbox{Pf}}(A)^{2}=\det(A)$

• ${\mbox{Pf}}(BAB^{T})=\det(B){\mbox{Pf}}(A)$

• ${\mbox{Pf}}(\lambda A)=\lambda ^{n}{\mbox{Pf}}(A)$

• ${\mbox{Pf}}(A^{T})=(-1)^{n}{\mbox{Pf}}(A)$

• Для блок-диагональной матрицы

${\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{bmatrix}}={\mbox{Pf}}(A_{1}){\mbox{Pf}}(A_{2}).$

• Для произвольной $n \times n$ матрицы $M$:

${\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&M\\-M^{T}&0\end{bmatrix}}=(-1)^{n(n-1)/2}\det M.$

История

Термин «пфаффиан» был введён Артуром Кэли и назван в честь немецкого математика Йохана Фридриха Пфаффа (Johann Friedrich Pfaff).

Литература

• М. Н. Вялый Пфаффианы или искусство расставлять знаки… Сборник "Математическое Просвещение" Выпуск 9 (2005 год)