Прямое или декартово произведение множеств — множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих разделах математики благодаря тому, что прямое произведение часто наследует структуры (алгебраические, топологические...), существующие на перемножаемых множествах.
Прямое произведение в теории множеств
Произведение двух множеств
в | в | в | в | в | в | в | в |
---|---|---|---|---|---|---|---|
и | и | и | и | и | и | и | и |
к | к | к | к | к | к | к | к |
Произведение множества {в,и,к} на множество цветов радуги |
Пусть даны два множества и . Прямое произведение множества и множества есть такое множество , элементами которого являются упорядоченные пары для всевозможных и .
Отображения произведения множеств в его множители ( и ) называют координатными функциями.
Аналогично строятся произведения нескольких множеств.
Декартова степень
000 | 001 | 002 | 010 | 011 | 012 | 020 | 021 | 022 |
100 | 101 | 102 | 110 | 111 | 112 | 120 | 121 | 122 |
200 | 201 | 202 | 210 | 211 | 212 | 220 | 221 | 222 |
{0,1,2}3, 33 = 27 элементов |
---|
множества определяется для целых неотрицательных , как -кратное Декартово произведение на себя:
-ая Декартова степень.
При положительных кортежей) элементов из длины .
Декартова степень состоит из всех упорядоченных наборов (При
, Декартова степень по определению содержит единственный элемент - пустой кортеж.Дальнейшие обобщения
Дальнейшее обобщение понятия прямого произведения приводит к произведениям по индексному множеству I (возможно, бесконечному): X = Π Xi, элементы которого сопоставляют каждому индексу i из I элемент множества Xi.
Воздействие на математические структуры
Прямое произведение групп
Прямое (декартово) произведение двух групп изоморфны двум нормальным подгруппам своего произведения, и соответственно. Пересечение этих подгрупп состоит из одного элемента , который является единицей группы-произведения. Координатные функции произведения групп являются гомоморфизмами.
и — это группа из всех пар элементов с операцией поэлементного умножения: . Эта группа обозначается как . Сомножители иЭто определение распространяется на произвольное конечное число перемножаемых групп; ассоциативность декартова произведения следует из ассоциативности операций перемножаемых групп.
Однако, для бесконечного числа перемножаемых групп понятия декартового и прямого произведения принято различать. В общем случае,
, где и . (Операция в правой части — это операция группы .) Единицей группы-произведения будет последовательность, составленная из единиц всех перемножаемых групп: . Например, для счётного числа групп: , где в правой части стоит множество всех бесконечных двоичных последовательностей.Подгруппа на множестве всех конечен, называется прямым произведением. Например, прямое произведение того же самого набора множеств содержит все двоичные последовательности с конечным числом единиц, а их можно трактовать как двоичные представления натуральных чисел.
, носитель которых (т.е. множество )Прямое произведение других алгебраических структур
Аналогично произведению групп, можно определить произведения колец, алгебр, модулей и линейных пространств, причём в определении прямого произведения (см. выше) следует заменить нулём. Однако, как правило, произведения этих структур называют прямой суммой.
Прямое произведение топологических пространств
Пусть топологических пространства. Топология произведения задаётся базой, состоящей из всевозможных произведений , где U — открытое подмножество и V — открытое подмножество .
и — дваОпределение легко обобщается на случай произведения нескольких пространств. Для бесконечного произведения X = Π Xi определение усложняется. Определим открытый член совета компактно-открытой топологии пространств отображений если считать индексное множество I имеющим дискретную топологию).
, где и U — открытое подмножество Xi. Топология бесконечного произведения будет задаваться базой, составленной из всевозможных пересечений конечного числа открытых цилиндров (такая топология аналогичнаТеорема Тихонова утверждает компактность произведений любого количества компактных пространств; однако для бесконечных произведений её не удаётся доказать без использования аксиомы выбора (или равносильных ей утверждений теории множеств).
Также, теорема Александрова показывает, что любое топологическое пространство можно вложить в (бесконечное) произведение связных двоеточий, если только выполнена аксиома Колмогорова (а иные пространства и не рассматриваются).
Прямое произведение графов
— | | |
| — | |
| | |
| — | |
Множество вершин прямого произведения двух графов G и H задаётся как произведение вершин графов сомножителей. Рёбрами будут соединены следующие па́ры вершин:
- , где и — соединённые ребром вершины графа G, а — произвольная вершина графа H;
- , где — произвольная вершина графа G, а и — соединённые ребром вершины графа H.
Иначе говоря, множество рёбер произведения графов является объединением двух произведений: рёбер первого на вершины второго, и вершин первого на рёбра второго.
Прямое произведение отображений
Пусть f — отображение из A в B, а g — отображение из X в Y. Их прямым произведением f×g называется отображение из A×X в B×Y:
Аналогично вышеизложенному, данное определение обобщается на многократные и бесконечные произведения.
См. также
- Дизъюнктное объединение
- Полупрямое произведение
- Тензорное произведение
- Декартовы координаты
be-x-old:Дэкартавы здабытак
bg:Декартово произведение
cs:Kartézský součin
eo:Cilindro (algebro)
gd:Toradh Cartesach
gl:Produto cartesiano
he:מכפלה קרטזית
hu:Descartes-szorzat
is:Faldmengi
lmo:Cungjuunt prudüit
lt:Dekarto sandauga
nl:Cartesisch product
nn:Kartesisk produkt
no:Kartesisk produkt
oc:Produch cartesian
pl:Iloczyn kartezjański
pms:Prodot cartesian
sk:Karteziánsky súčin
uk:Декартів добуток множин