На этом линейном пространстве можно ввести полунорму:
.
Неотрицательность и однородность следуют напрямую из свойств интеграла Лебега, а неравенство Минковского является неравенством треугольника для этой полунормы.
Замечание 1. Введённая таким образом полунорма не является нормой, ибо если почти всюду, то , что противоречит требованиям к норме. Чтобы превратить пространство с полунормой в пространство с нормой, необходимо «отождествить» функции, различающиеся между собой лишь на множестве меры нуль.
Это отношение разбивает пространство на непересекающиеся классы эквивалентности, причём:
полунормы любых двух представителей одного и того же класса совпадают;
полунормы любых представителей разных классов различаются.
Тогда на построенном фактор-пространстве (то есть семействе классов эквивалентности) можно ввести норму равную полунорме любого представителя данного класса. По определению, все аксиомы полунормы сохранятся, и вдобавок в силу изложенного построения оказывается выполненной и положительная определённость.
Определение 3. Фактор-пространство с построенной на нём нормой называется пространством или просто .
Замечание 2. Чаще всего вышеизложенное построение имеют в виду, но не упоминают явно. Тогда элементами называют не классы эквивалентности функций, а сами функции, «определённые с точностью до меры нуль».
Полнота пространства Lp[]
Введённая выше норма вместе с линейной структурой порождает метрику
,
а следовательно и понятие сходимости.
Определение 3. Пусть есть последовательность функций . Тогда эта последовательность сходится к функции , если
В случае введённая выше норма порождается скалярным произведением. Таким образом вместе с понятием «длины» здесь имеет смысл и понятие «угла», а следовательно и смежные понятия, таких как ортогональность, проекция и пр.
Определение 4. Введём на пространстве скалярное произведение следующим образом:
,
в случае, если рассматриваемые функции комплекснозначные или
,
если они вещественные. Тогда, очевидно,
,
то есть норма порождается скалярным произведением. Используя это вместе с результатом о полноте любого , заключаем, что имеет место
Рассмотрим пространство измеримых функций, ограниченных почти всюду. Отождествив между собой функции, различающиеся лишь на множестве меры нуль, и, положив по определению
,
мы получаем полное нормированное, то есть банахово пространство.
Метрика, порождаемая этой нормой, называется равномерной. Так же назывется и сходимость, порождённая такой метрикой:
в , если при .
Свойства пространств Lp[]
Сходимость функций почти всюду влечёт сходимость в пространстве . Пусть , и п.в. Тогда при . Обратное, вообще говоря, неверно.
Если при , то существует подпоследовательность, такая что п.в.
функции на числовой прямой могут быть приближены гладкими функциями. Пусть — подмножество , состоящее из бесконечно гладких функций. Тогда всюду плотно в .
Если — конечная мера, например, вероятность, и , то . В частности, , то есть случайная величина с конечным вторым моментом имеет конечный первый момент.