Пространства измеримых функций таких, что их -я степень интегрируема, где . — важнейший класс банаховых пространств. В дополнение, (читается «эль-два») — классический пример гильбертова пространства.
(читается «эль-пэ») — это пространстваПостроение пространства Lp
Определение 1. Пусть дано пространство с мерой . Фиксируем и рассмотрим множество измеримых функций, определенных на этом пространстве, таких что
- .
Обозначим это множество
или просто .Теорема 1. Пространство линейно. Доказательство следует из элементарных свойств интеграла Лебега, а также неравенства Минковского.
На этом линейном пространстве можно ввести полунорму:
- .
Неотрицательность и однородность следуют напрямую из свойств интеграла Лебега, а неравенство Минковского является неравенством треугольника для этой полунормы.
Замечание 1. Введённая таким образом полунорма не является нормой, ибо если почти всюду, то , что противоречит требованиям к норме. Чтобы превратить пространство с полунормой в пространство с нормой, необходимо «отождествить» функции, различающиеся между собой лишь на множестве меры нуль.
Определение 2. Введём на отношение эквивалентности. Будем говорить, что , если п.в.
Это отношение разбивает пространство
на непересекающиеся классы эквивалентности, причём:- полунормы любых двух представителей одного и того же класса совпадают;
- полунормы любых представителей разных классов различаются.
Тогда на построенном фактор-пространстве (то есть семействе классов эквивалентности)
можно ввести норму равную полунорме любого представителя данного класса. По определению, все аксиомы полунормы сохранятся, и вдобавок в силу изложенного построения оказывается выполненной и положительная определённость.Определение 3. Фактор-пространство
с построенной на нём нормой называется пространством или просто .Замечание 2. Чаще всего вышеизложенное построение имеют в виду, но не упоминают явно. Тогда элементами
называют не классы эквивалентности функций, а сами функции, «определённые с точностью до меры нуль».Полнота пространства Lp
Введённая выше норма вместе с линейной структурой порождает метрику
- ,
а следовательно и понятие сходимости.
Определение 3. Пусть есть последовательность функций
. Тогда эта последовательность сходится к функции , если- при .
Теорема 2. Пространство фундаментальная последовательность в сходится к элементу этого же пространства. Таким образом — банахово пространство.
полно, то есть любаяПространство L²
В случае скалярным произведением. Таким образом вместе с понятием «длины» здесь имеет смысл и понятие «угла», а следовательно и смежные понятия, таких как ортогональность, проекция и пр.
введённая выше норма порождаетсяОпределение 4. Введём на пространстве
скалярное произведение следующим образом:- ,
в случае, если рассматриваемые функции комплекснозначные или
- ,
если они вещественные. Тогда, очевидно,
- ,
то есть норма порождается скалярным произведением. Используя это вместе с результатом о полноте любого
, заключаем, что имеет местоТеорема 3. Пространство гильбертово.
Пространство L∞
Рассмотрим пространство
измеримых функций, ограниченных почти всюду. Отождествив между собой функции, различающиеся лишь на множестве меры нуль, и, положив по определению- ,
мы получаем полное нормированное, то есть банахово пространство.
Метрика, порождаемая этой нормой, называется равномерной. Так же назывется и сходимость, порождённая такой метрикой:
- в , если при .
Свойства пространств Lp
- Сходимость функций почти всюду влечёт сходимость в пространстве . Пусть , и п.в. Тогда при . Обратное, вообще говоря, неверно.
- Если при , то существует подпоследовательность , такая что п.в.
- всюду плотно в . функции на числовой прямой могут быть приближены гладкими функциями. Пусть — подмножество , состоящее из бесконечно гладких функций. Тогда
- сепарабельно. —
- Если вероятность, и , то . В частности, , то есть случайная величина с конечным вторым моментом имеет конечный первый момент. — конечная мера, например,
Пространства сопряжённые к Lp
Пусть сопряжённое к (т.н. ко-пространство). По определению, элемент является линейным функционалом на .
есть пространствоТеорема 4. Если изоморфно (пишем ), где . Любой линейный функционал на имеет вид:
, то- ,
где
.В силу симметрии уравнения
, само пространство дуально (с точностью до изоморфизма) к , а следовательно:- .
Этот результат справедлив и для случая
, то есть . Однако, и, в частности, .Пространства lp, 1 ≤ p ≤ ∞
Пусть счётная мера на , то есть . Тогда если , то пространство представляет собой семейство последовательностей , таких что
, где —- .
Соответственно, норма на этом пространстве задаётся
- .
Получившееся нормированное пространство обозначается
.Если
, то мы рассматриваем пространство ограниченных последовательностей с нормой- .
Получившееся пространство называется
. Оно является примером не сепарабельного пространства.Как и в общем случае, положив
, мы получаем гильбертово пространство , чья норма порождена скалярным произведением- ,
если последовательности комплекснозначные, и
- ,
если они вещественны.
Пространство, дуальное к
, где изоморфно , .Эта статья содержит материал из статьи Пространство Lp русской Википедии.