Пространство Lp

Пространства $L^{p}$ (читается «эль-пэ») — это пространства измеримых функций таких, что их $p$-я степень интегрируема, где $p\geq 1$. $L^{p}$ — важнейший класс банаховых пространств. В дополнение, $L^{2}$ (читается «эль-два») — классический пример гильбертова пространства.

Построение пространства L^p

Определение 1. Пусть дано пространство с мерой $(X,{\mathcal {F}},\mu )$. Фиксируем $1\leq p<\infty$ и рассмотрим множество измеримых функций, определенных на этом пространстве, таких что

$\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)<\infty$.

Обозначим это множество ${\mathcal {L}}^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )$ или просто ${\mathcal {L}}^{p}$.

Теорема 1. Пространство ${\mathcal {L}}^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )$ линейно. Доказательство следует из элементарных свойств интеграла Лебега, а также неравенства Минковского.

На этом линейном пространстве можно ввести полунорму:

$\|f\|_{p}=\left(\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{\frac {1}{p}}$.

Неотрицательность и однородность следуют напрямую из свойств интеграла Лебега, а неравенство Минковского является неравенством треугольника для этой полунормы.

Замечание 1. Введённая таким образом полунорма не является нормой, ибо если $f(x)=0$ почти всюду, то $\|f\|_{p}=0$, что противоречит требованиям к норме. Чтобы превратить пространство с полунормой в пространство с нормой, необходимо «отождествить» функции, различающиеся между собой лишь на множестве меры нуль.

Определение 2. Введём на ${\mathcal {L}}^{p}$ отношение эквивалентности. Будем говорить, что $f\sim g$, если $f(x)=g(x)$ п.в.

Это отношение разбивает пространство ${\mathcal {L}}^{p}$ на непересекающиеся классы эквивалентности, причём:

• полунормы любых двух представителей одного и того же класса совпадают;
• полунормы любых представителей разных классов различаются.

Тогда на построенном фактор-пространстве (то есть семействе классов эквивалентности) ${\mathcal {L}}^{p}/\sim$ можно ввести норму равную полунорме любого представителя данного класса. По определению, все аксиомы полунормы сохранятся, и вдобавок в силу изложенного построения оказывается выполненной и положительная определённость.

Определение 3. Фактор-пространство $\left({\mathcal {L}}^{p}/\sim ,\|\cdot \|_{p}\right)$ с построенной на нём нормой называется пространством $L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )$ или просто $L^{p}$.

Замечание 2. Чаще всего вышеизложенное построение имеют в виду, но не упоминают явно. Тогда элементами $L^{p}$ называют не классы эквивалентности функций, а сами функции, «определённые с точностью до меры нуль».

Полнота пространства L^p

Введённая выше норма вместе с линейной структурой порождает метрику

$d(f,g)=\|f-g\|_{p}$,

а следовательно и понятие сходимости.

Определение 3. Пусть есть последовательность функций $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}$. Тогда эта последовательность сходится к функции $f\in L^{p}$, если

$\|f_{n}-f\|_{p}\to 0$ при $n\to \infty$.

Теорема 2. Пространство $L^{p}$ полно, то есть любая фундаментальная последовательность в $L^{p}$ сходится к элементу этого же пространства. Таким образом $L^{p}$ — банахово пространство.

Пространство L²

В случае $p=2$ введённая выше норма порождается скалярным произведением. Таким образом вместе с понятием «длины» здесь имеет смысл и понятие «угла», а следовательно и смежные понятия, таких как ортогональность, проекция и пр.

Определение 4. Введём на пространстве $L^{2}$ скалярное произведение следующим образом:

$\langle f,g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{\overline {g(x)}}\,\mu (dx)$,

в случае, если рассматриваемые функции комплекснозначные или

$\langle f,g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{g(x)}\,\mu (dx)$,

если они вещественные. Тогда, очевидно,

$\|f\|_{2}={\sqrt {\langle f,f\rangle }}$,

то есть норма порождается скалярным произведением. Используя это вместе с результатом о полноте любого $L^{p}$, заключаем, что имеет место

Теорема 3. Пространство $L^{2}$ гильбертово.

Пространство L^∞

Рассмотрим пространство ${\mathcal {L}}^{\infty }(X,{\mathcal {F}},\mu )$ измеримых функций, ограниченных почти всюду. Отождествив между собой функции, различающиеся лишь на множестве меры нуль, и, положив по определению

$\|f\|_{\infty }=\mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f(x)|$,

мы получаем полное нормированное, то есть банахово пространство.

Метрика, порождаемая этой нормой, называется равномерной. Так же назывется и сходимость, порождённая такой метрикой:

$f_{n}\to f$ в $L^{\infty }$, если $\mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f_{n}(x)-f(x)|\to 0$ при $n\to \infty$.

Свойства пространств L^p

• Сходимость функций почти всюду влечёт сходимость в пространстве $L^{p}$. Пусть $f_{n},f\in L^{p}$, и $f_{n}\to f$ п.в. Тогда $\|f_{n}-f\|_{p}\to 0$ при $n\to \infty$. Обратное, вообще говоря, неверно.
• Если $\|f_{n}-f\|_{p}\to 0$ при $n\to \infty$, то существует подпоследовательность $f_{n_{k}}$, такая что $f_{n_{k}}\to f$ п.в.
• $L^{p}$ функции на числовой прямой могут быть приближены гладкими функциями. Пусть $L_{C^{\infty }}^{p}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),m)$ — подмножество $L^{p}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),m)$, состоящее из бесконечно гладких функций. Тогда $L_{C^{\infty }}^{p}$ всюду плотно в $L^{p}$.
• $L^{p}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),m)$ — сепарабельно.
• Если $\mu$ — конечная мера, например, вероятность, и $1\leq p\leq q\leq \infty$, то $L^{q}\subset L^{p}$. В частности, $L^{2}\subset L^{1}$, то есть случайная величина с конечным вторым моментом имеет конечный первый момент.

Пространства сопряжённые к L^p

Пусть $\left(L^{p}\right)^{\star }$ есть пространство сопряжённое к $L^{p}$ (т.н. ко-пространство). По определению, элемент $g\in \left(L^{p}\right)^{\star }$ является линейным функционалом на $L^{p}$.

Теорема 4. Если $1<p<\infty$, то $\left(L^{p}\right)^{\star }$ изоморфно $L^{q}$ (пишем $\left(L^{p}\right)^{\star }\cong L^{q}$), где $1/p+1/q=1$. Любой линейный функционал на $L^{p}$ имеет вид:

$g(f)=\int \limits _{X}f(x)\,{\tilde {g}}(x)\,\mu (dx)$,

где ${\tilde {g}}(x)\in L^{q}$.

В силу симметрии уравнения $1/p+1/q=1$, само пространство $L^{p}$ дуально (с точностью до изоморфизма) к $L^{q}$, а следовательно:

$\left(L^{p}\right)^{\star \star }\cong L^{p}$.

Этот результат справедлив и для случая $p=1$, то есть $\left(L^{1}\right)^{\star }=L^{\infty }$. Однако, $\left(L^{\infty }\right)^{\star }\not \cong L^{1}$ и, в частности, $\left(L^{1}\right)^{\star \star }\not \cong L^{1}$.

Пространства l^p, 1 ≤ p ≤ ∞

Пусть $(X,{\mathcal {F}},\mu )=\left(\mathbb {N} ,2^{\mathbb {N} },m\right)$, где $m$ — счётная мера на $\mathbb {N}$, то есть $m(\{n\})=1,\;\forall n\in \mathbb {N}$. Тогда если $p<\infty$, то пространство $L^{p}\left(\mathbb {N} ,2^{\mathbb {N} },m\right)$ представляет собой семейство последовательностей $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, таких что

$\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty$.

Соответственно, норма на этом пространстве задаётся

$\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$.

Получившееся нормированное пространство обозначается $l^{p}$.

Если $p=\infty$, то мы рассматриваем пространство ограниченных последовательностей с нормой

$\|x\|_{\infty }=\sup \limits _{n\in \mathbb {N} }|x_{n}|$.

Получившееся пространство называется $l^{\infty }$. Оно является примером не сепарабельного пространства.

Как и в общем случае, положив $p=2$, мы получаем гильбертово пространство $l^{2}$, чья норма порождена скалярным произведением

$\langle x,y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{\overline {y_{n}}}$,

если последовательности комплекснозначные, и

$\langle x,y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{y_{n}}$,

если они вещественны.

Пространство, дуальное к $l^{p}$, где $1\leq p<\infty$ изоморфно $l^{q}$, $1/p+1/q=1$.

Эта статья содержит материал из статьи Пространство Lp русской Википедии.