Произведение мер

Произведе́ние ме́р в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах - формальный способ построить меру на декартовом произведении двух пространств с мерами.

Построение

Пусть $(X_i,\mathcal{F}_i,\mu_i),\; i=1,2$ - два пространства с мерами. Тогда $X_1 \times X_2$ - декартово произведение множеств $X_1$ и $X_2$.

$\mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2$ является семейством подмножеств $X_1 \times X_2$. Оно, вообще говоря, не замкнуто относительно счётных объединений, и следовательно не является σ-алгеброй. Введём обозначение

$\mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2 = \sigma \left(\mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2\right)$

- минимальная σ-алгебра, содержащая $\mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2$. Тогда $(X_1 \times X_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2)$ - измеримое пространство. Определим на нём меру $\mu_1 \otimes \mu_2 : \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2 \to \mathbb{R}$ следующим образом:

$\mu_1 \otimes \mu_2 (A) = \mu_1(A_1) \cdot \mu_2(A_2),\quad \forall A = A_1 \times A_2 \in \mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2$.

Тогда $\mu_1 \otimes \mu_2$ продолжается единственным образом с $\mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2$ на $\mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2$:

$\mu_1 \otimes \mu_2(A) = \int\limits_{X_2} \mu_1(A_{x_2})\, \mu_2(dx_2),\quad A \in \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2$

или

$\mu_1 \otimes \mu_2(A) = \int\limits_{X_1} \mu_2(A_{x_1})\, \mu_1(dx_1)$,

где

$A_{x_2} = \{x_1 \in X_1 \mid (x_1,x_2) \in A )\}$ - сечение $A$ вдоль $x_2 \in X_2$, а

$A_{x_1} = \{x_2 \in X_2 \mid (x_1,x_2) \in A )\}$ - сечение $A$ вдоль $x_1 \in X_1$.

Получившаяся мера $\mu_1 \otimes \mu_2$ называется произведением мер $\mu_1$ и $\mu_2$. Пространство с мерой $(X_1 \times X_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2, \mu_1 \otimes \mu_2)$ называется (прямым) произведением исходных пространств.

Замечания

• Если $(\Omega_i,\mathcal{F}_i,\mathbb{P}_i),\; i=1,2$ - два вероятностных пространства, то $(\Omega_1 \times \Omega_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2, \mathbb{P}_1 \otimes \mathbb{P}_2)$ называется их произведением.
• Если $X,Y:\Omega \to \mathbb{R}$ - случайные величины, то $\mathbb{P}^X,\mathbb{P}^Y$ - распределения на $\R$ $X$ и $Y$ соответственно, а $\mathbb{P}^{X,Y}$ - распределение на $\mathbb R^{2}$ случайного вектора $(X,Y)^{\top}$. Если $X, Y$ - независимы, то

$\mathbb{P}^{X,Y} = \mathbb{P}^X \otimes \mathbb{P}^Y$.

Пример

Мера Лебега $m_n$ на $\R^n$ может быть получена как произведение $n$ одномерных мер Лебега $m_1$ на $\R$:

$\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) = \bigotimes\limits_{i=1}^n \mathcal{B}(\mathbb{R})$,

где $\mathcal{B}(X)$ обозначает борелевскую σ-алгебру на пространстве $X$, и

$m_n = \bigotimes\limits_{i=1}^n m_1$.

См. также

• Теорема Тонелли — Фубини.

th:ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ