Предел функции

Преде́л фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа. Функция $f(x)$ имеет предел $A$ в точке $x_0$ если для всех значений $x$, достаточно близких к $x_0$, значение $f(x)$ близко к $A$.

Определения

• (определение по Коши, ε−—определение) Пусть дана функция $f:M \subset \R \to \R$ и $a\in M'$ — предельная точка множества $M.$ Число $A\in\mathbb{R}$ называется пределом функции $f$ при $x,$ стремящемся к $a$ $(x \to a)$, если

$\forall \varepsilon>0\; \exists \delta > 0\; \forall x \in M \quad (0<|x-a|<\delta ) \Rightarrow (|f(x) - A| < \varepsilon).$

• (окрестностное определение) Пусть дана функция $f:M \subset \R \to \R$ и $a\in M'$ — предельная точка множества $M.$ Число $A\in\mathbb{R}$ называется пределом функции $f$ при $x,$ стремящемся к $a$ $(x \to a)$, если для любой окрестности $V(A)$ точки $A$ существует проколотая окрестность $\dot{U}(a)$ точки $a$ такая, что

$\left(x \in \dot{U}(a)\right) \Rightarrow (f(x) \in V(A)).$

• (определение по Гейне) Пусть дана функция $f:M \subset \R \to \R$ и $a\in M'$ — предельная точка множества $M.$ Будем называть $\{\xi_n\}_{n=1}^{\infty}$ последовательностью Гейне, если $\forall n\in \mathbb{N}\; \xi_n \in M \setminus \{a\},$ и $\xi_n \to a$ при $n\to\infty.$ Число $A\in\mathbb{R}$ называется пределом функции $f$ при $x,$ стремящемся к $a$ $(x \to a)$ тогда и только тогда, когда для любой последовательности Гейне имеем

$f(\xi_n) \to A$ при $n\to\infty.$

Замечания

• Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны.
• Если предел функции $f$ при $x\to a$ существует и равен $A$, пишут

$\lim\limits_{x \to a} f(x) = A.$

• Предел может быть односторонним или двусторонним..

Предел вдоль фильтра

Определение фильтра

Пусть дано множество $A.$ Система множеств $\mathfrak B$ называется фильтром на $A$, если

• $\forall B\in \mathfrak{B}\; B \neq \emptyset;$
• $\forall B_1,B_2 \in \mathfrak{B}\; \exists B_3\in \mathfrak{B}$ такой, что $B_3 \subset B_1 \cap B_2.$

Определение предела

Пусть $f:M \to \mathbb{R},$ и $\mathfrak B$ — фильтр на $M.$ Число $A\in\mathbb{R}$ является пределом функции $f$ по фильтру $\mathfrak{B},$ если

$\forall \varepsilon > 0 \; \exists B \in \mathfrak{B}\quad (x \in B) \Rightarrow (|f(x)-A| < \varepsilon).$

Пишут: $\lim\limits_{\mathfrak{B}} f(x) = A.$

Примеры

Обычный предел

Пусть дано топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$, и $M\subset X.$ Пусть $a \in M'.$ Тогда система множеств

$\mathfrak{B} = \left\{\dot{U}(a) \equiv U(a) \setminus\{a\} \mid a \in U, U \in \mathcal{T} \right\}$

является фильтром и обозначается $x \to a.$ Данное выше определение предела совпадает с пределом по фильтру $x \to a.$

Односторонние пределы

• Пусть $M \subset \mathbb{R},$ и $a \in \bigl(M \cap (a, \infty) \bigr)'.$ Тогда система множеств

$\mathfrak{B} = \{ (a, a + \delta) \cap M \mid \delta > 0 \}$

является фильтром и обозначается $x \to a+$ или $x \to a+0.$ Предел $\lim\limits_{x \to a+}f(x)$ называется правосторонним пределом функции $f$ при $x$ стремящемся к $a.$

• Пусть $M \subset \mathbb{R},$ и $a \in \bigl(M \cap (-\infty,a) \bigr)'.$ Тогда система множеств

$\mathfrak{B} = \{ (a - \delta, a) \cap M \mid \delta > 0 \}$

является фильтром и обозначается $x \to a-$ или $x \to a-0.$ Предел $\lim\limits_{x\to a-} f(x)$ называется левосторонним пределом функции $f$ при $x$ стремящемся к $a.$

Пределы на бесконечности

• Пусть $M \subset \mathbb{R},$ и $\sup M = \infty.$ Тогда система множеств

$\lim\limits_{x \to \infty}f(x)$ называется пределом функции $f$ при $x$ стремящемся к бесконечности.

• Пусть $M \subset \mathbb{R},$ и $\inf M = -\infty.$ Тогда система множеств

$\mathfrak{B} = \{M \cap (-\infty,T) \mid T \in \mathbb{R}\}.$

является фильтром и обозначается $x \to -\infty.$ Предел $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)$ называется пределом функции $f$ при $x$ стремящемся к минус-бесконечности.

Предел последовательности

Система множеств $\mathfrak{B} = \{B_n\}_{n=1}^{\infty},$ где

$B_n = \{n,n+1,n+2,\ldots\} \quad n \in \mathbb{N},$

является фильтром и обозначается $n\to\infty.$ Функция $n\in \mathbb{N} \to f_n\in \mathbb{R}$ называется числовой последовательностью, а предел $\lim\limits_{n \to \infty}f_n$ пределом этой последовательности.

Интеграл Римана

Пусть $f:[a,b]\subset\mathbb{R} \to \mathbb{R}.$ Назовём размеченным разбиением отрезка $[a, b]$ коллекцию точек $T = \{a = x_0 < x_1 < \cdots < x_{n-1}<x_n = b,\; x_{n-1} \leq \xi_n \le x_n \; n \in \mathbb{N}\}.$ Назовём диаметром разбиения $T$ число $d(T) = \max\limits_{i \in \{1,\ldots, n\}} (x_i - x_{i-1}).$ Тогда система множеств

$\mathfrak{B} = \{T \mid d(T) < \delta, \delta > 0\}$

является фильтром в пространстве $\mathfrak{T}$ всех размеченных разбиений $[a,b].$ Определим функцию $S_f:\mathfrak{T} \to \mathbb{R}$ равенством

$S_f(T) = \sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i) (x_i - x_{i-1})\quad T \in \mathfrak{T}.$

Тогда предел $\lim\limits_{\mathfrak{B}} S_f(T)$ называется интегралом Римана функции $f$ на отрезке $[a,b].$

Свойства пределов числовых функций

Пусть даны функции $f,g:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R},$ и $a \in M'.$ Тогда

• Предел $\lim\limits_{x\to a} f(x)$ единственнен, то есть

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A_1 \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A_2 \right) \Rightarrow (A_1 = A_2);$

• Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более обще,

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge ( A > B ) \Rightarrow \left( \exists \epsilon >0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad f(x) > B\right),$

где $\dot{U}_{\epsilon}(a)$ - проколотая окрестность точки $a$.

• В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A >0\right) \Rightarrow \left( \exists \epsilon >0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad f(x) > 0\right);$

• Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \Rightarrow \left( \exists \epsilon >0\; \exists K>0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad |f(x)| \le K \right);$

• Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.

  $\left(\exists \epsilon>0\; \forall x\in \dot{U}_{\epsilon}(a)\quad f(x) \le g(x) \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow (A \le B);$

• Предел суммы равен сумме пределов:

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)+g(x)\bigr] = A+B \right);$

• Предел разности равен разности пределов:

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)-g(x)\bigr] = A-B \right);$

• Предел произведения равен произведению пределов:

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)\cdot g(x)\bigr] = A\cdot B \right);$

• Предел частного равен частному пределов.

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \neq 0 \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{A}{B}\right).$

См. также

• Правило Лопиталя
• Замечательные пределы

Эта статья содержит материал из статьи Предел функции русской Википедии.