Предгильбертово пространство

Предги́льбертово простра́нство в линейной алгебре, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это линейное пространство с определённым на нём скалярным произведением.

Определение

Пара $\left(X,\langle\cdot , \cdot\rangle\right)$ называется предгильбертовым пространством, если $X$ — линейное пространство, а $\langle\cdot , \cdot\rangle$ — определённое на $X$ скалярное произведение.

Замечание

Предгильбертово простанство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму

$\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle},\quad x \in X.$

Пример

В теории рядов Фурье широкое распространение находит предгильбертово пространство действительных функций интегрируемых с квадратом

$L^2([a,b]) = \left\{f:[a,b] \to \mathbb{R} \mid \int\limits_a^b f^2(x)\,dx < \infty\right\},$

если скалярное произведение определить как

$\langle f, g\rangle = \int\limits_{a}^{b} f(x) g(x)\, dx,\quad f,g \in L^2\big([a,b]\big).$

См. также

• Евклидово пространство;
• Гильбертово пространство.

Википедия