Последовательность

Последовательность — это упорядоченный список элементов некоторого множества.

Определения

• Пусть дано множество ХУ. Тогда конечной последовательностью его элементов называют функцию ХУ Элемент ХУ называют членом последовательности с номером ХУ , а натуральное число ХУ называется их общим количеством.
• Бесконечной последовательностью элементов ХУ называется функция ХУ

Обозначения

Часто для обозначения последовательностей используется индексная запись. Конечная последовательность обозначается $\{x_n\}_{n=1}^N$, а бесконечная $\{ x_n \}_{n=1}^\infty$.

Связанные определения

• Конечное число начальных элементов $\{x_{n}\}_{n=1}^{M}$ называется начальным отрезком последовательности длины $M.$ Оставшиеся элементы последовательности $\{x_{n}\}_{n=M+1}^{\infty }$ называются её хвостом.
• Подмножество элементов последовательности называется подпоследовательностью. Более точно пусть дана последовательность $\{ x_n \}_{n=1}^\infty$. Рассмотрим другую последовательность $\{n_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ такую, что $\forall k,l\in \mathbb {N} \quad {\bigl (}k<l{\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}n_{k}<n_{l}{\bigr )}$. Тогда последовательность $\{ x_{n_k} \}_{k=1}^\infty$ называется подпоследовательностью исходной последовательности $\{ x_n \}$.

Примеры

• Целочисленная последовательность $x_n = (-1)^n$;
• Функциональная последовательность $\{ f_n \}_{n=1}^\infty$, где

  $f_{n}(x)=\sin nx,\quad x\in \mathbb {R} .$