Полугруппа

В математике, полугруппой называют множество с заданной на нем ассоциативной бинарной операцией.

Существуют разногласия по поводу того, нужно ли включать требование непустоты в определение полугруппы; отдельные авторы даже настаивают на необходимости наличия нейтрального элемента. Мы не будем предполагать непустоту и существование единицы, а полугруппу с единицей будем называть моноидом. Следует отметить, что любую полугруппу S, не содержащую единицы, можно превратить в моноид, добавив к ней некоторый элемент $e \not\in S$ и определив $es = s = se\ \forall s \in S \cup \{e\}$.

Примеры полугрупп

• Положительные целые числа с операцией сложения.
• Любой моноид (в частности, любая группа) является также и полугруппой.
• Идеал кольца всегда является полугруппой относительно операции умножения.
• Любое подмножество полугруппы, замкнутое относительно полугрупповой операции.

Две полугруппы S и T называются изоморфными, если существует биекция f : S → T, такая что $\forall a,\ b \in S\ f(ab) = f(a)f(b)$ Две такие полугруппы считаются неразличимыми для полугрупповой теории.

Структура полугруппы

Введем несколько понятий, полезных для описания полугрупп.

Прежде всего отметим, что для краткости символ полугрупповой операции обычно опускается. Таким образом, запись $ab\$, где $a \in S,\ b \in S$, а $S\$ - это полугруппа с операцией $* \$, нужно интерпретировать как $a*b\$. Аналогично,

• $A \subset S, B \subset S \Rightarrow AB:=\{ab|a \in A, b \in B\}$

Подмножество A полугруппы S называется подполугруппой, если оно замкнуто относительно полугрупповой операции, т. е. AA есть подмножество A. Если A непусто и AS (SA) лежит в A, то A называют правым (левым) идеалом. Если A является одновременно левым и правым иделом, то его называют двусторонним идеалом, или просто идеалом.

Пересечение двух идеалов - также идеал; из этого следует, что полугруппа не может иметь более одного наименьшего идеала. Пример полугруппы, в которой нет наименьшего идеала - положительные целые числа с операцией вычитания. Если же наименьший идеал есть, а полугруппа коммутативна, то он является группой.

Подполугруппы, которые являются группами, называют также просто подгруппами. Существует тесная связь между подгруппами полугруппы и ее идемпотентными элементами. Каждая подгруппа содержит ровно один идемпотентный элемент - единицу этой подгруппы. Для каждого идемпотента е в полугруппе существует ровно одна максимальная подгруппа, содержащая е. Таким образом порождается каждая максимальная подгруппа, а значит, существует взаимно-однозначное соответствие между идемпотентами и максимальными подгруппами полугруппы.

Частным случаем полугрупп являются полугруппы с делением, в которых для каждых двух элементов a и b определено правое (a/b) и левое (b\a) частное.

ar:نصف زمرة cs:Pologrupa eo:Duongrupo (algebro) hu:Félcsoport nl:Halfgroep pl:Półgrupa sk:Pologrupa sl:Polgrupa sr:Полугрупа sv:Semigrupp