Поле (алгебра)

По́лем называется множество F с двумя бинарными операциями $+$ (аддитивная операция или сложение) и $\cdot$ (мультипликативная операция или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей, все ненулевые элементы которого обратимы.

Иными словами, множество F с двумя бинарными операциями $+$ (сложение) и $\cdot$ (умножение) называется полем, если оно образует коммутативную группу по сложению, все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению, и выполняется свойство дистрибутивности.

Связанные определения

• Характеристика поля — наименьшее положительное целое $n$ число такое, что сумма $n$ копий единицы равна нулю:
      $n\cdot 1=0$
  Если такого числа не существует то характеристика равна 0 по определению.
• Подполем поля $k$ называется подмножество, которое само является полем относительно операций сложения и умножения, заданных в $k$.

Свойства

• Характеристика поля всегда 0 или простое число.
  • Поле характеристики 0 содержит $\mathbb {Q}$, поле рациональных чисел.
  • Поле характеристики p содержит $\mathbb {Z} _{p}$, поле вычетов по модулю $p$.
• Количество элементов в конечном поле всегда равно $p^{n}$, степени простого числа.
  • При этом для любого числа вида $p^{n}$ существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из $p^{n}$ элементов, обычно обозначаемое $\mathbb {F} _{p^{n}}$.
• Любой гомоморфизм полей является вложением.

Примеры

• $\mathbb {Q}$ — рациональные числа,
• $\mathbb {R}$ — вещественные числа,
• $\mathbb {C}$ — комплексные числа,
• $\mathbb {Z} _{p}$ — поле вычетов по модулю p, где p — простое число.
• $\mathbb {F} _{q}$ — конечное поле из $q=p^{k}$ элементов, где p — простое число, k — натуральное.

ca:Cos (matemàtiques) da:Legeme (matematik) eo:Korpo (algebro) et:Korpus (matemaatika) hu:Test (algebra) io:Feldo (algebro) nl:Lichaam (algebra) pl:Ciało (matematyka) sk:Pole (algebra) sl:Polje (matematika)