По́лем называется множество F с двумя бинарными операциями (аддитивная операция или сложение) и (мультипликативная операция или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей, все ненулевые элементы которого обратимы.
Иными словами, множество F с двумя бинарными операциями коммутативную группу по сложению, все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению, и выполняется свойство дистрибутивности.
(сложение) и (умножение) называется полем, если оно образуетСвязанные определения
- Характеристика поля — наименьшее положительное целое число такое, что сумма копий единицы равна нулю:
Если такого числа не существует то характеристика равна 0 по определению. - Подполем поля называется подмножество, которое само является полем относительно операций сложения и умножения, заданных в .
Свойства
- Характеристика поля всегда 0 или простое число.
- Поле характеристики 0 содержит , поле рациональных чисел.
- Поле характеристики p содержит , поле вычетов по модулю .
- Количество элементов в конечном поле всегда равно
- При этом для любого числа вида изоморфизма) поле из элементов, обычно обозначаемое . существует единственное (с точностью до
, степени простого числа.
- Любой гомоморфизм полей является вложением.
Примеры
- рациональные числа, —
- вещественные числа, —
- комплексные числа, —
- вычетов по модулю p, где p — простое число. — поле
- конечное поле из элементов, где p — простое число, k — натуральное. —
ca:Cos (matemàtiques) da:Legeme (matematik) eo:Korpo (algebro) et:Korpus (matemaatika) hu:Test (algebra) io:Feldo (algebro) nl:Lichaam (algebra) pl:Ciało (matematyka) sk:Pole (algebra) sl:Polje (matematika)