Показательная функция

Показательная функция — функция, обычно обозначаемая a^x, где a - некоторое вещественное число, а x — переменная. Если в качестве a (называемого также основанием) стоит число e, то функция называется экспонентой.

Выведем существование и свойства функции e^x на основе теории пределов.

Введение показательной функции

Рассмотрим последовательность a_n(x)=$<big>(1+{\frac {x}{n}})^{n}</big>$, обозначим через $a(x)$ её предел: $a(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }{a_{n}(x)}$.

Очевидно, что

• a(0) = 1;
• a(1) = e по определению;
• $\forall x\exists N:\forall n(n>N)\Rightarrow (a_{n}(x)>0)$

Поэтому если предел существует для какого-то x, то он неотрицателен. Докажем теперь, что при любом x последовательность a_n(x) сходится и, таким образом, функция a(x) определена для любого вещественного x. Вначале докажем монотонность a_n(x). Как уже было замечено, при любом x, начиная с некоторого n, все члены последовательности положительны, поэтому безбоязненно рассмотрим при таких n дробь ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$. Преобразуем её: ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$=${\frac {(1+{\frac {x}{n+1}})^{n+1}}{(1+{\frac {x}{n}})^{n}}}$=$({\frac {1+{\frac {x}{n+1}}}{1+{\frac {x}{n}}}})^{n+1}(1+{\frac {x}{n}})$=$({\frac {(1+{\frac {x}{n}})+({\frac {x}{n+1}}-{\frac {x}{n}})}{1+{\frac {x}{n}}}})^{n+1}(1+{\frac {x}{n}})$=$(1-{\frac {x}{(n+1)(n+x)}})^{n+1}({\frac {n+x}{n}})$. Теперь к самому левому множителю применим неравенство Бернулли и получим, что всё выражение больше (строго при n больше некоторого N₁), чем $(1-{\frac {x}{n+x}})({\frac {n+x}{n}})$ = 1. Стало быть, последовательность возрастает. Для существования предела необходима также ограниченность сверху. Докажем и её. a_n(x)a_n(-x) = $(1-({\frac {x}{n}})^{2})^{n}$, значит, a(x) = ${\frac {(1-({\frac {x}{n}})^{2})^{n}}{a_{n}(-x)}}$. Числитель дроби справа при достаточно больших n больше нуля, но всегда меньше единицы, знаменатель, как только что было доказано, возрастает и при достаточно больших n больше нуля. Зафиксируем какое-нибудь n = N₂, чтобы знаменатель был больше нуля. Тогда левая часть всегда будет меньше ${\frac {1}{a_{N_{2}}(x)}}$, то есть константы. Значит, последовательность действительно ограничена и a(x) определена всюду на $\R$.

Свойства

Опишем свойства введённой нами функции.

1). a(x+y) = a(x)a(y). Для доказательства этого факта докажем сперва лемму: если $\lim _{n\rightarrow \infty }{n\alpha _{n}}=0$, то $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\alpha _{n})^{n}}=1$.

При достаточно больших n |α_n| становится меньше единицы; по неравенству Бернулли получаем, что $1+n\alpha _{n}\leq (1+\alpha _{n})^{n}$ = ${\frac {(1-\alpha _{n}^{2})^{n}}{(1-\alpha _{n})^{n}}}\leq {\frac {1}{(1-\alpha _{n})^{n}}}\leq {\frac {1}{1-n\alpha _{n}}}$. Видим, что самая левая и самая правая части стремятся к единице, а значит, по теореме о неравенстве пределов, и заключённое между ними выражение стремится к тому же числу, ч. т. д.

Теперь доказательство собственно свойства. a(x)a(y) = $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+{\frac {x}{n}})^{n}}\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+{\frac {y}{n}})^{n}}$ = $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+{\frac {x}{n}})^{n}(1+{\frac {y}{n}})^{n}}$ = $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+{\frac {x+y}{n}}+{\frac {xy}{n^{2}}})^{n}}$ = $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+{\frac {x+y}{n}})^{n}(1+\alpha _{n})^{n}}$ = $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+{\frac {x+y}{n}})^{n}}$, где α = ${\frac {xy}{n^{2}(1+{\frac {x+y}{n}})}}$. Из этого свойства следует, что a(x)a(-x)=1.

2). Из свойства 1 следует, что для любого x a(x) неотрицательна, но a(x) = a(x/2+x/2) = a(x)², а значит, a(x) всегда положительна.

3). a(x) возрастает. Действительно, если x₂ > x₁, то a(x₂) = a(x₁ + (x₂ - x₁)) = a(x₁)a(x₂ - x₁), где a(x₁) положительно, а следующий сомножитель больше единицы (так как, по всё тому же неравенству Бернулли, a(x) >= 1+x).

4). a(x) непрерывна. Докажем непрерывность в нуле: 1+x $\leq a(x)={\frac {1}{a(-x)}}\leq {\frac {1}{1-x}}$, а значит, предел в нуле равен единице - значению в нуле. Если мы рассмотрим x₀, то увидим, что a(x) = a(x₀)a(x-x₀), при стремлении x к x₀ правый множитель стремится к 1, поэтому предел a(x) в точке равен значению её в этой же точке, ч. т. д.

Теперь посмотрим повнимательнее на введённую функцию. a(nx) = a((n - 1)x + x) = … = (a(x))ⁿ; a(1) = e, a(1/n) = e^1/n, a(m/n) = e^m/n, a(-m/n) = e^-m/n, всё это легко показать. Получилось, что на множестве рациональных чисел введённая функция совпадает с функцией e^x; на самом деле, она совпадает с ней на $\R$.

Шаблон:Чистить

ca:Funció exponencial da:Eksponentialfunktion eo:Eksponenta funkcio he:פונקציה מעריכית id:Fungsi eksponensial io:Exponentala nl:Exponentiële functie pl:Funkcja wykładnicza sk:Exponenciálna funkcia sr:Експоненцијална функција su:Fungsi éksponénsial sv:Exponentialfunktion