Подмно́жество в теории множеств - это понятие части множества.
Файл:Venn А subset В.svg
A
{\displaystyle A}
является подмножеством
B
{\displaystyle B}
, а
B
{\displaystyle B}
является надмножеством
A
.
{\displaystyle A.}
Определения
Множество
A
{\displaystyle A}
является подмножеством множества
B
{\displaystyle B}
, если любой элемент , принадлежащий
A
{\displaystyle A}
также принадлежит
B
{\displaystyle B}
. Пишут:
A
⊂
B
{\displaystyle A \subset B}
или
A
⊆
B
{\displaystyle A \subseteq B}
. Таким образом,
(
A
⊂
B
)
⇔
(
x
∈
A
⇒
x
∈
B
)
.
{\displaystyle (A \subset B) \Leftrightarrow ( x \in A \Rightarrow x \in B ).}
Множество
B
{\displaystyle B}
в таком случае называется надмно́жеством множества
A
{\displaystyle A}
, и этот факт часто записывают:
B
⊃
A
{\displaystyle B \supset A}
или
B
⊇
A
.
{\displaystyle B \supseteq A.}
Собственное подмножество
Из определения прямо следует, что пустое множество обязано быть подмножеством любого множества. Также, очевидно, любое множество является своим подмножеством:
∅
⊂
B
,
B
⊂
B
∀
B
.
{\displaystyle \emptyset \subset B,\; B \subset B \quad \forall B.}
Если
A
⊂
B
{\displaystyle A \subset B}
, и
A
≠
∅
,
A
≠
B
,
{\displaystyle A \not= \emptyset,\; A \not= B,}
то
A
{\displaystyle A}
называется со́бственным или нетривиа́льным подмножеством.
Свойства
B
⊂
B
.
{\displaystyle B \subset B.}
=слово пидорас или гей
(
A
⊂
B
∧
B
⊂
A
)
⇔
(
A
=
B
)
.
{\displaystyle (A \subset B \; \and \; B \subset A) \Leftrightarrow (A = B).}
(
A
⊂
B
∧
B
⊂
C
)
⇒
(
A
⊂
C
)
.
{\displaystyle (A \subset B \;\and \; B \subset C ) \Rightarrow ( A \subset C ).}
Таким образом отношение подмножества является отношением частичного порядка на булеане
2
M
{\displaystyle 2^M}
- семействе всех подмножеств любого объемлющего множества
M
.
{\displaystyle M.}
Для любых двух множеств
A
{\displaystyle A}
и
B
{\displaystyle B}
следующие утверждения эквивалентны:
A
⊂
B
.
{\displaystyle A \subset B.}
A
∩
B
=
A
.
{\displaystyle A \cap B = A.}
A
∪
B
=
B
.
{\displaystyle A \cup B = B.}
B
∁
⊂
A
∁
.
{\displaystyle B^{\complement} \subset A^{\complement}.}
Пример
A
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
}
,
B
=
{
1
,
2
,
3
}
,
C
=
{
4
,
5
,
6
,
7
}
.
{\displaystyle A = \{1,2,3,4,5\},\; B = \{1,2,3\},\; C = \{4,5,6,7\}.}
Тогда
B
⊂
A
,
C
⊄
A
.
{\displaystyle B \subset A,\; C \not\subset A.}
be-x-old:Падмноства
bn:উপসেট
ca:Subconjunt
cs:Podmnožina
el:Υποσύνολο
eo:Subaro
et:Alamhulk
fiu-vro:Alambhulk
he:תת קבוצה
hu:Részhalmaz
is:Hlutmengi
nl:Deelverzameling
no:Delmengde
pl:Podzbiór
simple:Subset
sk:Podmnožina
sl:Podmnožica
sv:Delmängd
uk: Підмножина