Подмножество

Подмно́жество в теории множеств - это понятие части множества.

Файл:Venn В subset А.svg

$A$ является подмножеством $B$, а $B$ является надмножеством $A.$

Определения

• Множество $A$ является подмножеством множества $B$, если любой элемент, принадлежащий $A$ также принадлежит $B$. Пишут: $A \subset B$ или $A \subseteq B$. Таким образом,

$(A \subset B) \Leftrightarrow ( x \in A \Rightarrow x \in B ).$

• Множество $B$ в таком случае называется надмно́жеством множества $A$, и этот факт часто записывают: $B \supset A$ или $B \supseteq A.$

Собственное подмножество

Из определения прямо следует, что пустое множество обязано быть подмножеством любого множества. Также, очевидно, любое множество является своим подмножеством:

$\emptyset \subset B,\; B \subset B \quad \forall B.$

Если $A \subset B$, и $A \not= \emptyset,\; A \not= B,$ то $A$ называется со́бственным или нетривиа́льным подмножеством.

Свойства

• Отношение подмножества рефлексивно:

$B \subset B.$

• Отношение подмножества антисимметрично:

$(A \subset B \; \and \; B \subset A) \Leftrightarrow (A = B).$

• Отношение подмножества транзитивно:

$(A \subset B \;\and \; B \subset C ) \Rightarrow ( A \subset C ).$

• Таким образом отношение подмножества является отношением частичного порядка на булеане $2^M$ - семействе всех подмножеств любого объемлющего множества $M.$
• Для любых двух множеств $A$ и $B$ следующие утверждения эквивалентны:

• $A \subset B.$
• $A \cap B = A.$
• $A \cup B = B.$
• $B^{\complement} \subset A^{\complement}.$

Пример

• Пусть

$A = \{1,2,3,4,5\},\; B = \{1,2,3\},\; C = \{4,5,6,7\}.$

Тогда

$B \subset A,\; C \not\subset A.$

be-x-old:Падмноства bn:উপসেট ca:Subconjunt cs:Podmnožina el:Υποσύνολο eo:Subaro et:Alamhulk fiu-vro:Alambhulk he:תת קבוצה hu:Részhalmaz is:Hlutmengi nl:Deelverzameling no:Delmengde pl:Podzbiór simple:Subset sk:Podmnožina sl:Podmnožica sv:Delmängd uk:Підмножина