Отрицательное биномиальное распределение

Отрицательное биномиальное распределение

Функция вероятности
Функция распределения
Параметры	$r > 0\!$ $p \in (0;1)\!$ (real)
Носитель	$k \in \{0,1,2,\ldots\}\!$
Функция вероятности	$\frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,(1-p)^k \!$
Функция распределения	$I_p(r,k+1)\!$
Математическое ожидание	$r\,\frac{1-p}{p}\!$
Медиана
Мода	$\lfloor(r-1)\,(1-p)/p\rfloor\!$ если $r>1$ $0$ если $r\le 1$
Дисперсия	$r\,\frac{1-p}{p^2}\!$
Коэффициент асимметрии	$\frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}\!$
Коэффициент эксцесса	$\frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,(1-p)}\!$
Информационная энтропия
Производящая функция моментов	$\left(\frac{p}{1-(1-p) e^t}\right)^r \!$
Характеристическая функция	$\left(\frac{p}{1-(1-p) e^{i\,t}}\right)^r \!$

Отрица́тельное биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей — это распределение дискретной случайной величины равной количеству произошедших неудач в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха $p$, проводимой до $r$-го успеха.

Определение

Пусть $\{ X_i \}_{i=1}^\infty$ — последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

$X_i = \left\{ \begin{matrix} 1, & p \\ 0, & q \equiv 1-p \end{matrix} \right.,\; i\in \mathbb{N}.$

Построим случайную величину $Y$ следующим образом. Пусть $k+r$ — номер $r$-го успеха в этой последовательности. Тогда $Y = k$. Более строго, положим $S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i$. Тогда

$Y = \inf\{n \mid S_n = r\} - r$.

Распределение случайной величины $Y$, определённой таким образом, называется отрицательным биномиальным. Пишут: $Y \sim \mathrm{NB}(r,p)$.

Функции вероятности и распределения

Функция вероятности случайной величины $Y$ имеет вид:

$\mathbb{P}(Y = k) = C_{k+r-1}^k\, p^r q^k,\; k=0,1,2,\ldots$.

Функция распределения $Y$ кусочно-постоянна, и её значения в целых точках может быть выражено через неполную бета-функцию:

$F_Y(k) = I_p( r, k+1 )$.

Моменты

Производящая функция моментов отрицательного биномиального распределения имеет вид:

$M_Y(t) = \left(\frac{p}{1 - q e^t}\right)^r$,

откуда

$\mathbb{E}[Y] = r \frac{q}{p}$,

$\mathrm{D}[Y] = r \frac{q}{p^2}$.

Вероятностные распределения Одномерные Многомерные Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное

править

hu:Negatív binomiális eloszlás nl:Negatief-binomiale verdeling nov:Negativ binomial distributione su:Sebaran binomial négatip