Отношение эквивалентности - это обобщение понятия равенства. Эквивалентные элементы не различимы для теории в каком-то фиксированном смысле.
Определение[]
Пусть дано множество и на нём задано бинарное отношение . Тогда называется отношением эквивалентности, если оно
- рефлексивно, то есть
- симметрично, то есть
- транзитивно, то есть
Классы эквивалентности[]
Подмножество элементов эквивалентных данному называется его классом эквивалентности. Пишут:
Пусть Тогда либо либо Таким образом отношение эквивалентности порождает разбиение множества на непересекающиеся классы эквивалентности. Семейство таких классов образует множество, называемое фактор-множеством и обозначаемое
Примеры[]
- Равенство элементов произвольного множества.
- Сравнение по модулю
- Отношение конгруэнтности в Евклидовой геометрии.
- Отношение подобия в Евклидовой геометрии.
- Отношение параллельности прямых в Евклидовой геометрии.
- Отношение эквивалентности двух фундаментальных последовательностей рациональных чисел: Классами эквивалентности являются действительные числа.
- Равенство измеримых функций почти всюду.
- Равенство случайных величин почти наверное.