Математика
Advertisement

Основная теорема арифметики утверждает:

Каждое натуральное число представляется в виде , где суть простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей. Основная теорема арифметики/рамка Единицу можно также считать произведением нулевого количества простых чисел, «пустым произведением».

Как следствие, каждое натуральное число единственным образом представимо в виде , где — простые числа, и — некоторые натуральные числа.

Следствия

Доказательство

Доказательство основной теоремы арифметики опирается на так называемую лемму Евклида:

Если простое число p делит без остатка произведение двух целых чисел x·y, то p делит x или y. Основная теорема арифметики/рамка

Существование. Пусть n — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если n составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, n тоже является произведением простых чисел. Противоречие.

Единственность. Пусть n — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть p — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если p входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на p и получить два разных разложения числа n/p, что невозможно. А если p не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на p, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.

Ссылки

bg:Основна теорема на аритметиката ca:Teorema fonamental de l'aritmètica da:Aritmetikkens fundamentalsætning el:Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής fa:قضیه اساسی حساب he:המשפט היסודי של האריתמטיקה hu:A számelmélet alaptétele ka:არითმეტიკის ფუნდამენტური თეორემა nl:Hoofdstelling van de rekenkunde pl:Podstawowe twierdzenie arytmetyki simple:Fundamental theorem of arithmetic sl:Osnovni izrek aritmetike sr:Основна теорема аритметике sv:Aritmetikens fundamentalsats th:ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต ur:Fundamental theorem of arithmetic

Advertisement