Оператор (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Оператор.

Опера́тор (позднелат. operator — работник, исполнитель, от operor — работаю, действую) — то же, что отображение.

Термин оператор встречается в разных разделах математики, его точное значение зависит от раздела. Как правило, под операторами понимают какие-то особые (для данной области математики) отображения, например в функциональном анализе под операторами понимают отображение ставящее в соответствие функции другую функцию («оператор на пространстве функций» звучит лучше, чем «функция от функции»).

Наиболее часто встречающиеся операторы:

Функциональный анализ: Операторы на пространствах функций (дифференцирование, интегрирование, свертка с ядром, преобразование Фурье).
Линейная алгебра: Отображения (в особенности линейные) векторных пространств (проекторы, повороты координат, гомотетии, умножения вектора на матрицу).
Дискретная математика: Преобразование последовательностей (свертки дискретных сигналов, медианный фильтр и т. п.).

Основная терминология[]

Пусть оператор $A$ действует из множества $X$ в множество $Y$ .

Оператор может быть не всюду определен; тогда говорят о его области определения $D_A=D(A)$ .
Для $x \in X$ результат применения оператора $A$ к $x$ обозначают $A(x)$ или $Ax$ .
Если $X$ и $Y$ — векторные пространства, то в множестве всех операторов из $X$ в $Y$ можно выделить класс линейных операторов.
Если $X$ и $Y$ — векторные топологические пространства, то в множестве операторов из $X$ в $Y$ естественно выделяется класс непрерывных операторов, а также класс линейных ограниченных операторов и класс линейных компактных операторов (наз. также вполне непрерывными).

Простые примеры[]

Оператор, действующий над пространствами функций — это правило, согласно которому одна функция преобразуется в другую. Преобразование функции x(t) согласно правилу A в другую функцию y(t) выглядит: y(t) = A{x(t)} или, проще, y = Ax. Примерами подобных преобразований могут быть, например, домножение на число: y(t) = cx(t), дифференцирование: y(t) = ${dx(t) \over dt}$ и т. д. Получаем операторы дифференцирования, интегрирования, решения дифференциального уравнения и т. д.

Определяя оператор, мы рассматривали только преобразование функции x(t) в другую функцию y того же аргумента t. Такое сохранение аргумента при определении оператора вовсе не является обязательным: оператор может преобразовывать функцию одного аргумента в функцию другого аргумента, например:

y(t)={\int _{0}^{t}x(\tau )\,d{\tau }}

или Преобразование Фурье из временной в частотную область:

F(\omega)=\mathcal{F}\{f(t)\}.

Отличие оператора от простой суперпозиции функций в данном случае заключается в том, что значение функции y, вообще говоря, в каждой точке t зависит не только от x(t), а от значений функции x во всех точках t. Поясним на примере преобразования Фурье. Значение этого преобразования (спектр функции) в точке $\omega$ меняется при изменении исходной функции в любой точке $t$ .

Еще в качестве примера оператора можно привести операцию умножения вектора длины $n$ на матрицу размером $m \times n$ . Этот оператор отображает $n$ -мерное пространство векторов в $m$ -мерное.

Изучением общих свойств операторов и применением их к решению различных задач занимается теория операторов. Например, оказывается, что у оператора умножения вектора на матрицу и оператора свертки функции с весом есть много общих свойств.

Фундаментальным для практики является класс так называемых линейных операторов. Он также является наиболее исследованным.

Линейные операторы[]

См. также основную статью Линейное отображение.

Оператор L (действующий из векторного пространства в векторное же) называется линейным однородным (или просто линейным), если он обладает следующими свойствами:

1) может применяться почленно к сумме аргументов:

L(x_1+x_2)=L(x_1)+L(x_2)

;

2) скаляр (постоянную величину) с можно выносить за знак оператора:

L(cx)=cL(x)

;

Из 2) следует, что для линейного однородного оператора справедливо свойство L(0) = 0.

Примеры линейных однородных операторов:

оператор дифференцирования: $L(x(\cdot ))$ = y(t) = ${dx(t) \over dt}$ ;
оператор интегрирования: y(t) = $\int _{0}^{t}x(\tau )\,d{\tau }$ ;
оператор умножения на определённую функцию φ(t): y(t) = φ(t)x(t);
оператор интегрирования с заданным «весом» φ(t): y(t) = $\int _{0}^{t}x(\tau ){\phi }(\tau )\,d{\tau }$
оператор взятия значения функции $f$ в конкретной точке $x_0$ : $L(f)=f(x_{0})$ ;
оператор умножения вектора на матрицу: $b=Ax$ .

Оператор L называется линейным неоднородным, если он состоит из линейного однородного оператора с прибавлением некоторого фиксированного элемента:

L{x} = L₀{x} + φ,

где L₀ — линейный однородный оператор. Примеры линейных неоднородных операторов:

Любое аффинное преобразование;
y(t) = ${dx(t) \over dt}$ + φ(t);
y(t) = $\int _{0}^{t}x(\tau )\,d{\tau }$ + φ(t);
y(t) = φ₁(t)x(t) + φ₂(t);

где φ(t), φ₁(t), φ₂(t) — вполне определённые функции, а x(t) — преобразуемая оператором функция.

В случае преобразования дискретных функций (последовательностей, векторов) линейные операторы характеризуются тем, что для них y_k являются линейными функциями от x_k:

y_k =

\sum _{k=1}^{n}T_{kl}\,x_{l}

.

Коэффициенты T_kl образуют матрицу. Если {y_k} рассматривают как векторы, то оператор называется тензором. В этом случае пишут $\mathfrak{b}=\mathfrak{Ta}$ .

В более общем случае непрерывных функций двумерная матрица весов принимает вид функции двух переменных K(t, ω), и называется ядром линейного интегрального преобразования:

φ(t) =

\int _{V}K(t,\omega )f(\omega )\,d{\omega }

= Kf(ω).

Функция-операнд f(ω) в данном случае называется спектральной функцией. Спектр может быть и дискретным, тогда f(ω) заменяется вектором W. В этом случае φ(t) представимо (бес~)конечным рядом функций:

φ(t) =

\sum _{i=1}^{n}T_{i}(t)w_{i}

.

Единичный оператор[]

Частный случай линейного оператора, возвращающий операнд в неизменном виде:

Ea = a,

то есть как матричный оператор определяется равенством

\sum_k E_{ik}\,a_k=a_i

и как интегральный оператор — равенством

\int _{\alpha }^{\beta }E(x,t)a(t)\,dt=a(x)

.

Единичная матрица E_ik записывается большей частью с помощью символа δ_ik = δ_ki (символ Кронекера). Имеем: δ_ik = 1 при i = k и δ_ik = 0 при i ≠ k.

Единичное ядро E(x,t) записывается в виде δ(x−t) = δ(t−x) (дельта-функция). δ(x−t) = 0 всюду, кроме x = t, где функция становится бесконечной и притом такой, что

\int _{\alpha }^{\beta }\delta (x-t)\,dt=1

.

Запись[]

В математике и технике широко применяется условная форма записи операторов, аналогичная алгебраической символике. Такая символика в ряде случаев позволяет избежать сложных преобразований и записывать формулы в простой и удобной форме. Аргументы оператора называются операндами, число операндов называется арностью оператора (например, одинарный, бинарный). Написание операторов можно систематизировать следующим образом:

префиксная: где первым идёт оператор и операнды следом, например:

Q(x₁, x₂,…,x_n);

постфиксная: если символ оператора следует за операндами, например:

(x₁, x₂,…,x_n) Q;

инфиксная: оператор вставляется между операндами, применяется преимущественно с двоичными операторами:

x₁ Q x₂

позиционная: знак оператора опускается, оператор присутствует неявно. Чаще всего не пишется оператор произведения (переменных, численного значения на физическую единицу, матриц, композиция функций), например, 3 кг. Такая способность одного оператора действовать над разнородными сущностями достигается перегрузкой операторов;
подстрочная или надстрочная слева или справа; главным образом используется для операций возведения в степень и выбора элемента вектора по индексу.

Как можно заметить, запись оператора часто принимает сокращённую форму от общепринятой записи функций. При использовании префиксной или постфиксной записи скобки опускаются в большинстве случаев, если известна арность оператора. Так, одинарный оператор Q над функцией f обычно для краткости записывается Qf вместо Q(f); скобками пользуются для ясности, например, операция над произведением Q(fg). Q, действующий на f(x), также записывают (Qf)(x). Для обозначения некоторых операторов вводятся спецзнаки, например, унарные n! (факториал '!', справа от операнда), -n (отрицание, слева) или каллиграфические символы, как в случае с Фурье-преобразованием функции $\mathcal{F}\{f(t)\}$ . Возведение в степень n^x можно считать бинарным оператором двух аргументов либо степенной или показательной функцией одного аргумента.

См. также[]

Список операторов (математика)

Литература[]

Вентцель Е. С. Теория вероятностей — 1998, стр. 388—390
Маделунг Э. Математический аппарат физики — стр. 34
(1995) Оператор. Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: «Большая российская энциклопедия».

Эта статья является заготовкой. Вы можете помочь проекту, добавив сюда новый материал.

ca:Operador matemàtic he:אופרטור nl:Operator sv:Operator