Окрестность

Окре́стность в общей топологии — это базовое понятие, определяющее топологическое пространство. Неформально говоря, окрестность точки множества — это такое подмножество, которое содержит данную точку.

Определения

• Пусть задано топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$, где $X$ — произвольное множество, а $\mathcal{T}$ — определённая на $X$ топология. Множество $V \subset X$ называется окрестностью точки $x \in X$, если существует открытое множество $U \in \mathcal{T}$ такое, что $x \in U \subset V$.

• Аналогично окрестностью множества $M \subset X$ называется такое множество $V \subset X$, что существует открытое множество $U \in \mathcal{T}$, для которого выполнено $M \subset U \subset V$.

Замечания

• Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность $V$ была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество $U$. Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта. Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако, в каждом случае важно фиксировать терминологию.

• Прямо из определения следует, что $V$ является окрестностью множества $M$ тогда и только тогда, когда $V$ есть окрестность любой точки $x\in M$.

Проколотая окрестность

Множество $\dot{V}$ называется проко́лотой окре́стностью точки $x \in X$, если

$\dot{V} = V \setminus \{x\},$

где $V$ — окрестность $x$.

Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью в смысле данного выше определения.

Пример

Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда $[-1,2]$ является окрестностью, а $(-1,2)$ открытой окрестностью точки $0$. Множество $(-1,2) \setminus \{0\} \equiv (-1,0) \cup (0,2)$ является проколотой окрестностью $0.$

См. также

• ε-окрестность.

el:Γειτονιά he:סביבה (מתמטיקה) nl:Omgeving (wiskunde) pl:Otoczenie (matematyka) sr:Околина (математика)