Односторонний предел

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (или преде́лом спра́ва).

Определения

Пусть задана числовая функция $f:M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ и $a\in M'$ — предельная точка области определения $M.$

Число $A\in \mathbb {R}$ называется правосторонним пределом функции $f$ при $x$ стремящемся к $a,$ если
$\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in (a,a+\delta )\cap M\quad |f(x)-A|<\varepsilon ;$
Число $A\in \mathbb {R}$ называется левосторонним пределом функции $f$ при $x$ стремящемся к $a,$ если
$\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in (a-\delta ,a)\cap M\quad |f(x)-A|<\varepsilon ;$

Обозначения

Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:
$\lim \limits _{x\to a+}f(x),\lim \limits _{x\to a+0}f(x),\lim _{x\downarrow 0}f(x),\lim _{x\searrow 0}f(x);$
Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения:
$\lim \limits _{x\to a-}f(x),\lim \limits _{x\to a-0}f(x),\lim _{x\uparrow 0}f(x),\lim _{x\nearrow 0}f(x).$

Односторонний предел как предел вдоль фильтра

Односторонний предел является частным случаем общего понятия предела функции вдоль фильтра. Пусть $M\subset \mathbb {R} ,$ и $a\in M'.$ Тогда системы множеств

{\mathfrak {B}}_{+}=\{(a,a+\delta )\cap M\mid \delta >0\}

и

{\mathfrak {B}}_{-}=\{(a-\delta ,a)\cap M\mid \delta >0\}

являются фильтрами. Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:

\lim \limits _{{\mathfrak {B}}_{+}}f(x)\equiv \lim \limits _{x\to a+}f(x);

\lim \limits _{{\mathfrak {B}}_{-}}f(x)\equiv \lim \limits _{x\to a-}f(x).

Свойства

Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.
Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.

Примеры

Файл:Discontinuity jump.eps.png

Функция из Примера 1.

Пусть $M=\mathbb {R} \setminus \{3\},$ и
$f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{2},&x<3\\11-(x-3)^{2},&x>3\end{matrix}}\right.,\;x\in M.$

Тогда (см. рис.)

$\lim _{x\to 3-}f(x)=9;$

$\lim _{x\to 3+}f(x)=11.$
Поскольку односторонние пределы функции $f(x)$ в точке $3$ различны, то предела данной функции в $0$ не существует.
Пусть $M=\mathbb {R} \setminus \{0\},$ и $f(x)={\frac {x}{|x|}},\;x\in M.$ Тогда
$\lim _{x\to 0-}f(x)=-1;$

$\lim _{x\to 0+}f(x)=1.$

Опять, поскольку односторонние пределы функции $f(x)$ в точке $0$ различны, то предела данной функции в $0$ не существует.