Математика
Advertisement

Односторо́нний преде́л в математическом анализепредел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (или преде́лом спра́ва).

Определения

Пусть задана числовая функция и предельная точка области определения

  • Число называется правосторонним пределом функции при стремящемся к если
  • Число называется левосторонним пределом функции при стремящемся к если

Обозначения

  • Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:
  • Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения:

Односторонний предел как предел вдоль фильтра

Односторонний предел является частным случаем общего понятия предела функции вдоль фильтра. Пусть и Тогда системы множеств

и

являются фильтрами. Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:

Свойства

  • Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.
  • Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.

Примеры

Файл:Discontinuity jump.eps.png

Функция из Примера 1.

  1. Пусть и
    Тогда (см. рис.)

    Поскольку односторонние пределы функции в точке различны, то предела данной функции в не существует.
  2. Пусть и Тогда
    Опять, поскольку односторонние пределы функции в точке различны, то предела данной функции в не существует.

См. также

Advertisement