Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции , подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва ) и правосторо́нним преде́лом (или преде́лом спра́ва ).
Определения [ ] Пусть задана числовая функция
f
:
M
⊂
R
→
R
{\displaystyle f:M \subset \R \to \R}
a
∈
M
′
{\displaystyle a\in M'}
предельная точка области определения
M
.
{\displaystyle M.}
Число
A
∈
R
{\displaystyle A\in\mathbb{R}}
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
a
,
{\displaystyle a,}
∀
ε
>
0
∃
δ
>
0
∀
x
∈
(
a
,
a
+
δ
)
∩
M
|
f
(
x
)
−
A
|
<
ε
;
{\displaystyle \forall \varepsilon>0\; \exists \delta>0\; \forall x\in (a,a+\delta)\cap M \quad |f(x) - A| < \varepsilon;}
Число
A
∈
R
{\displaystyle A\in\mathbb{R}}
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
a
,
{\displaystyle a,}
∀
ε
>
0
∃
δ
>
0
∀
x
∈
(
a
−
δ
,
a
)
∩
M
|
f
(
x
)
−
A
|
<
ε
;
{\displaystyle \forall \varepsilon>0\; \exists \delta>0\; \forall x\in (a-\delta,a)\cap M \quad |f(x) - A| < \varepsilon;}
Обозначения [ ] Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
,
lim
x
→
a
+
0
f
(
x
)
,
lim
x
↓
0
f
(
x
)
,
lim
x
↘
0
f
(
x
)
;
{\displaystyle \lim\limits_{x\to a+}f(x), \lim\limits_{x\to a+0}f(x), \lim_{x \downarrow 0} f(x), \lim_{x \searrow 0} f(x);}
Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения:
lim
x
→
a
−
f
(
x
)
,
lim
x
→
a
−
0
f
(
x
)
,
lim
x
↑
0
f
(
x
)
,
lim
x
↗
0
f
(
x
)
.
{\displaystyle \lim\limits_{x\to a-}f(x), \lim\limits_{x\to a-0}f(x), \lim_{x \uparrow 0} f(x), \lim_{x \nearrow 0} f(x).}
Односторонний предел как предел вдоль фильтра [ ] Односторонний предел является частным случаем общего понятия предела функции вдоль фильтра . Пусть
M
⊂
R
,
{\displaystyle M \subset \mathbb{R},}
a
∈
M
′
.
{\displaystyle a \in M'.}
B
+
=
{
(
a
,
a
+
δ
)
∩
M
∣
δ
>
0
}
{\displaystyle \mathfrak{B}_+ = \{ (a, a + \delta) \cap M \mid \delta > 0 \}}
и
B
−
=
{
(
a
−
δ
,
a
)
∩
M
∣
δ
>
0
}
{\displaystyle \mathfrak{B}_- = \{ (a - \delta, a) \cap M \mid \delta > 0 \}}
являются фильтрами . Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:
lim
B
+
f
(
x
)
≡
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
;
{\displaystyle \lim\limits_{\mathfrak{B}_+} f(x) \equiv \lim\limits_{x\to a+}f(x);}
lim
B
−
f
(
x
)
≡
lim
x
→
a
−
f
(
x
)
.
{\displaystyle \lim\limits_{\mathfrak{B}_-} f(x) \equiv \lim\limits_{x\to a-}f(x).}
Свойства [ ] Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.
Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно , чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой. Примеры [ ] Файл:Discontinuity jump.eps.png Функция из Примера 1.
Пусть
M
=
R
∖
{
3
}
,
{\displaystyle M = \mathbb{R}\setminus \{3\},}
f
(
x
)
=
{
x
2
,
x
<
3
11
−
(
x
−
3
)
2
,
x
>
3
,
x
∈
M
.
{\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2, & x< 3 \\ 11-(x-3)^2,& x>3\end{matrix}\right.,\; x\in M.}
Тогда (см. рис.)
lim
x
→
3
−
f
(
x
)
=
9
;
{\displaystyle \lim_{x\to 3-} f(x) = 9;}
lim
x
→
3
+
f
(
x
)
=
11.
{\displaystyle \lim_{x\to 3+} f(x) = 11.}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
3
{\displaystyle 3}
0
{\displaystyle 0}
Пусть
M
=
R
∖
{
0
}
,
{\displaystyle M = \mathbb{R} \setminus \{0\}, }
f
(
x
)
=
x
|
x
|
,
x
∈
M
.
{\displaystyle f(x) = \frac{x}{|x|},\; x\in M.}
lim
x
→
0
−
f
(
x
)
=
−
1
;
{\displaystyle \lim_{x \to 0-}f(x) = -1;}
lim
x
→
0
+
f
(
x
)
=
1.
{\displaystyle \lim_{x \to 0+}f(x) = 1.}
Опять, поскольку односторонние пределы функции
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
См. также [ ] 
