Обратная функция

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Определение[]

Пусть дано биективное отображение $F: X \to Y$ . Тогда по определению биекции для каждого $y \in Y$ существует в точности один $x \in X$ , такой что $F(x) = y$ . Таким образом построена функция $y\in Y \mapsto x\in X$ . Эта функция называется обратной к $F$ и обозначается $F^{-1}$ .

Замечания[]

Областью определения $F^{-1}$ является множество $Y$ , а областью значений множество $X$ .
По построению имеем:

y = F(x) \Leftrightarrow x = F^{-1}(y)

или

F\left(F^{-1}(y)\right) = y,\; \forall y \in Y

,

F^{-1}(F(x)) = x,\; \forall x \in X

,

или короче

F \circ F^{-1} = \mathrm{id}_Y

,

F^{-1} \circ F = \mathrm{id}_X

,

где $\circ$ означает композицию функций, а $\mathrm{id}_X, \mathrm{id}_Y$ - тождественные отображения на $X$ и $Y$ соответственно.

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение $y=F(x)$ относительно $x$ , и затем поменять местами $x$ и $y$ . Если уравнение $y=F(x)$ имеет более чем один корень, то функции обратной к $F$ не существует.
Функция $F$ является обратной к $F^{-1}$ :

\left(F^{-1}\right)^{-1} = F

.

Пусть $F:X \subset \mathbb{R} \to Y \subset \mathbb{R}$ - биекция. Пусть $F^{-1}:Y \to X$ её обратная функция. Тогда графики функций $y=F(x)$ и $y = F^{-1}(x)$ симметричны относительно прямой $y = x$ .

Примеры[]

Если $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_+,\; F(x) = a^x$ , где $a>0,$ то $F^{-1}(x) = \log_a x.$
Если $F(x) = ax+b, \; x\in \mathbb{R}$ , где $a,b\in \mathbb{R}$ фиксированные постоянные, то $F^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}.$
Если $F(x)=x^n,x \ge 0, n\in \mathbb Z$ , то $F^{-1}(x)=\sqrt [n] {x}.$