Математика
Advertisement
Нормальное распределение
Плотность вероятности
Плотность нормального распределения
Зелёная линия соответствует стандартному нормальному распределению
Функция распределения
Функция распределения нормального распределения
Цвета на этом графике соответствуют графику наверху
Параметры - коэффициент сдвига (вещественное число)
- коэффициент масштаба (вещественный)
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии 0
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, — распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений, в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.

Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть, является, с математической точки зрения, не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

Характеристики распределения

Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины с параметром смещения и масштаба (или, что тоже самое, дисперсией ) имеет следующий вид:

Функция распределения такой величины не выражается через элементарные функции и записывается по определению через интеграл Римана как

Функция распределения стандартной нормальной случайной величины (т. е. при ) часто обзначают как :

Функцию распределения нормальной случайной величины с любыми параметрами легко выразить через :

Характеристическая функция нормального распределения имеет вид

где  — нормально распредёленная с параметрами и случайная величина.

Производящая функция моментов определена для всех вещественных t задаётся формулой

Процентили стандартного нормального распределения

Процентили стандартного нормального распределения задаются уравнением

.

Ниже суммированы значения процентилей для наиболее чaсто встречающихся значений .

0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95
−1,6449 −1,2816 −1,0364 −0,8416 −0,6745 −0,5244 −0,3853 −0,2533 −0,1257 0 0,1257 0,2533 0,3853 0,5244 0,6745 0,8416 1,0364 1,2816 1,6449

Моделирование нормальных случайных величин

Неточные методы моделирования основываются на центральной предельной теореме. Именно, если сложить много независимых одинаково распределённых величин с конечной дисперсией, то сумма будет распределена примерно нормально. Например, если сложить 12 независимых базовых случайных величин, получится грубое приближение стандартного нормального распределения.

Тем не менее, использование точных методов предпочтительно, поскольку у них практически нет недостатков. В частности, преобразование Бокса — Мюллера является точным, быстрым и простым для реализации методом генерации.

Статистическая проверка принадлежности нормальному распределению

Поскольку нормальное распределение часто встречается на практике, то для него разработаны специальные статистические критерии: критерий Пирсона, критерий Колмогорова — Смирнова и др.

Курьёзы с нормальным распределением

В популярных психологических тестах часто используются списки вопросов, ответы на которые соответствуют определённым количествам баллов, которые затем суммируются. В зависимости от суммы, испытуемого причисляют к той или иной категории. Оказывается, что согласно центральной предельной теореме, если вопросы не имеют никакого смысла и никак не соотносятся с теми категориями, к которым причисляют испытуемых, а ответы случайны (то есть, если тест фальшивый), то распределение сумм окажется приближенно нормальным, а это значит, что большинство испытуемых окажутся причислены к некоей средней категории.

Поэтому, если в каком-то тесте вы (да ещё и ваши знакомые) оказались посередине шкалы, знайте, что это, вполне возможно, сработало нормальное распределение, а тест ничего не значит.

См. также

Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
править

ar:توزيع احتمالي طبيعي bs:Normalna distribucija ca:Distribució normal cs:Normální rozdělení cy:Dosraniad normal da:Normalfordeling eo:Normala distribuo fa:توزیع نرمال gl:Distribución normal he:התפלגות נורמלית hr:Normalna raspodjela hu:Normális eloszlás id:Distribusi normal is:Normaldreifing lt:Normalusis skirstinys lv:Normālsadalījums nl:Normale verdeling no:Normalfordeling pl:Rozkład normalny simple:Normal distribution sr:Нормална расподела su:Sebaran normal sv:Normalfördelning uk:Нормальний розподіл ur:معمول توزیع vi:Phân bố chuẩn

Advertisement