Неравенство Чебышёва

Нера́венство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения близкие к своему среднему. Более точно, оно даёт оценку вероятности, что случайная величина примет значение далёкое от своего среднего. Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.

Формулировки

Пусть случайная величина $X:\Omega \to \mathbb{R}$ определена на вероятностном пространстве $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$, и её математическое ожидание $\mu$ и дисперсия $\sigma^2$ конечны. Тогда

$\mathbb{P}\left(|X-\mu|\geq a\right) \leq \frac{\sigma^2}{a^2}$,

где $a>0$.

Если $a = k \sigma$, где $\sigma$ - стандартное отклонение и $k>0$, то получаем

$\mathbb{P}\left(|X-\mu|\geq k \sigma \right) \leq \frac{1}{k^2}$.

В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на $2$ стандартных отклонения с вероятностью меньше $25\%$. Она отклоняется от среднего на $3$ стандартных отклонения с вероятностью меньше $11\%$.

См. также

• Неравенство Маркова;
• Чебышёв, Пафнутий Львович.

Эта статья содержит материал из статьи Неравенство Чебышёва русской Википедии.