Неравенство Маркова

Нера́венство Ма́ркова в теории вероятностей даёт оценку вероятности, что случайная величина превзойдёт по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Получаемая оценка обычно достаточно груба. Однако, она позволяет получить определенное представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.

Формулировка

Пусть случайная величина $X:\Omega \to \mathbb {R}$ определена на вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$, и её математическое ожидание конечно. Тогда

$\mathbb {P} \left(|X|\geq a\right)\leq {\frac {\mathbb {E} |X|}{a}}$,

где $a>0$.

Пример

Пусть $X\geq 0$ — неотрицательная случайная величина. Тогда, взяв $a=1$, получаем

$\mathbb {P} (X\geq 1)\leq \mathbb {E} X$.

См. также

• Неравенство Чебышёва;
• Марков, Андрей Андреевич (старший).

Эта статья содержит материал из статьи Неравенство Маркова русской Википедии.