Нера́венство Йе́нсена — неравенство для выпуклой функции среднего случайной величины.
Формулировка[]
Пусть
- вероятностное пространство, и
- определённая на нём случайная величина. Пусть также
- выпуклая (вниз) борелевская функция. Тогда если
, то
,
где
означает математическое ожидание.
Замечание[]
- Если функция
вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.
Конечномерный вариант[]
Предположим, что
имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности

Тогда неравенство Йенсена принимает вид:
.
Следствия[]
- Неравенство Гиббса в теории информации;
- Теорема Рао — Блекуэлла — Колмогорова в математической статистике.
Неравенство Йенсена для условного математического ожидания[]
Пусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше,
- под-σ-алгебра событий. Тогда
,
где
обозначает условное математическое ожидание относительно σ-алгебры
.
Эта статья содержит материал из статьи Неравенство Йенсена русской Википедии.