Непреры́вное отображе́ние (фу́нкция) в математическом анализе и смежных дисциплинах — это такое отображение, у которого небольшие изменения аргумента приводят к небольшим изменениям значения функции.
Непрерывная числовая функция
- Пусть дана функция и Тогда говорят, что непрерывна в точке и пишут если
- Пусть дано подмножество
Замечания
- Функция всегда непрерывна в изолированой точке области определения, то есть
- В предельной точке области определения непрерывность функция эквивалентна существованию предела:
Базовые свойства
- Функция сохраняет знак в окрестности точки непрерывности. Пусть Тогда существует окрестность такая, что
- Сумма непрерывных функций также является непрерывной. Пусть . Тогда
- Непрерывная функция умноженная на константу также является непрерывной. Пусть и — произвольная константа. Тогда
- Произведение непрерывных функций также является непрерывным. Пусть . Тогда
- Дробь непрерывных функций также является непрерывной. Пусть и Тогда существует окрестность в которой функция определена, и
- Композиция двух непрерывных функций так же является непрерывной. Пусть Тогда
Дополнительные свойства
- Дифференцируемая функция всегда непрерывна. Обратное, вообще говоря, неверно. Например, функция Ван-дер-Вардена непрерывна, но не дифференцируема на всей прямой.
- Теорема Больцано — Коши;
- Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте.
Разрывные функции
Если функция не является непрерывной в точке
то говорят, что она в ней разры́вна и пишут Согласно замечанию выше функция может быть разрывной только в предельной точке области определения, и справедливо одно из двух:- Либо предел не существует;
- Либо он существует, но
Устранимый разрыв
Пусть существует
но или Тогда называется то́чкой устрани́мого разры́ва. Положив можно добиться непрерывности функции в этой точке.Разрыв первого рода
Пусть не сущестует двусторонний предел
но существуют конечные (и различные) односторонние пределы и Тогда и называется то́чкой разры́ва пе́рвого ро́да.Разрыв второго рода
Если
и не является точкой устранимого разрыва или разрыва первого рода, то есть если хотя бы один односторонний предел не существует или бесконечен, то она называется то́чкой разры́ва второ́го ро́да.Примеры
- Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические прямые и обратные функции непрерывны везде в своей области определения.
- Функция задаваемая формулой
непрерывна в любой точке
Точка является точкой устранимого разрыва, ибо- Функция знака
непрерывна в любом
Точка является точкой разрыва первого рода, ибо- Функция
непрерывна в любом
Точка является точкой разрыва второго рода, ибо, например,Односторонне непрерывная числовая функция
- Пусть дана функция и Тогда говорят, что непреры́вна спра́ва в точке если
- Говорят, что
Замечания
- Функция непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна одновременно справа и слева.
- Функция непрерывна справа в предельной точке области определения тогда и только тогда, когда cуществует правосторонний предел
- Функция непрерывна справа в предельной точке области определения тогда и только тогда, когда cуществует левосторонний предел
- Все базовые свойства непрерывных функций переносятся на односторонне непрерывные функции.
Примеры
- Функция
непрерывна справа (но не слева) в точке
Во всех других точках она непрерывна.- Кумулятивная функция распределения дискретной случайной величины в теории вероятностей непрерывна справа в любой точке.
Обобщения
Непрерывное отображение из Rm в Rn
Обобщая одномерный случай, функция
называется непрерывной в точке еслигде
- — евклидова норма в
Непрерывное отображение метрических пространств
В предыдущем определении наличие операции вычитания, точнее линейной структуры, в евклидовых пространствах не играет принципиальной роли. Достаточно лишь иметь возможность измерять расстояния. Множества, на которых указан способ измерять расстояния называются метрическими пространствами. Отображение метрического пространства в метрическое пространство называется непрерывным в точке , если
Непрерывное отображение топологических пространств
В предыдущих определениях важно не наличие точной меры расстояния, а лишь понятия близости. Непрерывное отображение переводит близкие точки в близкие. Множество, в котором указан некоторый набор подмножеств , позволяющий говорить о близких точках, называется топологическим пространством. Отображение топологического пространства в топологическое пространство называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт:
Cм. также
- Пространство непрерывных функций
- Общая топология
- Топологическое пространство
- Открытое отображение
Эта статья содержит материал из статьи Непрерывное отображение русской Википедии.