Непрерывное отображение

Непреры́вное отображе́ние (фу́нкция) в математическом анализе и смежных дисциплинах — это такое отображение, у которого небольшие изменения аргумента приводят к небольшим изменениям значения функции.

Непрерывная числовая функция

• Пусть дана функция $f:M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$ и $a\in M.$ Тогда говорят, что $f$ непрерывна в точке $a$ и пишут $f\in C(a),$ если $\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in M$

  $(|x-a|<\delta )\Rightarrow (|f(x)-f(a)|<\varepsilon ).$

• Пусть дано подмножество $N\subset M.$ Тогда говорят, что $f$ непрерывна на $N$ и пишут $f\in C(N),$ если

  $\forall a\in N\quad f\in C(a).$

Замечания

• Функция всегда непрерывна в изолированой точке области определения, то есть

$\left(a\in M\setminus M'\right)\Rightarrow {\bigl (}f\in C(a){\bigr )}.$

• В предельной точке области определения непрерывность функция эквивалентна существованию предела:

${\bigl (}a\in M\cap M'{\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}f\in C(a)\Leftrightarrow \lim \limits _{x\to a}f(x)=f(a){\bigr )}.$

Базовые свойства

• Функция сохраняет знак в окрестности точки непрерывности. Пусть $f\in C(a),\;f(a)>0.$ Тогда существует окрестность $U(a)$ такая, что

$\forall x\in U(a)\cap M\quad f(x)>0.$

• Сумма непрерывных функций также является непрерывной. Пусть $f,g\in C(a)$. Тогда

  $f+g\in C(a).$

• Непрерывная функция умноженная на константу также является непрерывной. Пусть $f,g\in C(a),$ и $\alpha \in \mathbb {R}$ — произвольная константа. Тогда

  $\alpha f\in C(a).$

• Произведение непрерывных функций также является непрерывным. Пусть $f,g\in C(a)$. Тогда

  $f\cdot g\in C(a).$

• Дробь непрерывных функций также является непрерывной. Пусть $f,g\in C(a),$ и $g(a)\neq 0.$ Тогда существует окрестность $U(a),$ в которой функция ${\frac {f}{g}}$ определена, и

  ${\frac {f}{g}}\in C(a).$

• Композиция двух непрерывных функций так же является непрерывной. Пусть $f\in C(a),\;b=f(a),\;g\in C(b).$ Тогда

  $g\circ f\in C(a).$

Дополнительные свойства

• Дифференцируемая функция всегда непрерывна. Обратное, вообще говоря, неверно. Например, функция Ван-дер-Вардена непрерывна, но не дифференцируема на всей прямой.
• Теорема Больцано — Коши;
• Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте.

Разрывные функции

Если функция не является непрерывной в точке $a,$ то говорят, что она в ней разры́вна и пишут $f\not \in C(a).$ Согласно замечанию выше функция может быть разрывной только в предельной точке области определения, и справедливо одно из двух:

1. Либо предел $\lim \limits _{x\to a}f(x)$ не существует;
2. Либо он существует, но $\lim \limits _{x\to a}f(x)\neq f(a).$

Устранимый разрыв

Пусть существует $\lim \limits _{x\to a}f(x),$ но $a\not \in M$ или $\lim \limits _{x\to a}f(x)\neq f(a).$ Тогда $a$ называется то́чкой устрани́мого разры́ва. Положив $f(a)=\lim \limits _{x\to a}f(x),$ можно добиться непрерывности функции в этой точке.

Разрыв первого рода

Пусть не сущестует двусторонний предел $\lim \limits _{x\to a}f(x),$ но существуют конечные (и различные) односторонние пределы $\lim \limits _{x\to a-}f(x)$ и $\lim \limits _{x\to a+}f(x).$ Тогда $f\not \in C(a),$ и $a$ называется то́чкой разры́ва пе́рвого ро́да.

Разрыв второго рода

Если $f\not \in C(a),$ и $a$ не является точкой устранимого разрыва или разрыва первого рода, то есть если хотя бы один односторонний предел не существует или бесконечен, то она называется то́чкой разры́ва второ́го ро́да.

Примеры

• Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические прямые и обратные функции непрерывны везде в своей области определения.
• Функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$ задаваемая формулой

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {\sin x}{x}},&x\neq 0\\1,&x=0\end{matrix}}\right.$

непрерывна в любой точке $x\neq 0.$ Точка $x=0$ является точкой устранимого разрыва, ибо

$\lim \limits _{x\to 0}f(x)=\lim \limits _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=0\neq 1=f(1).$

• Функция знака

$f(x)=\operatorname {sgn} x=\left\{{\begin{matrix}-1,&x<0\\0,&x=0\\1,&x>0\end{matrix}}\right.,\;x\in \mathbb {R}$

непрерывна в любом $x\neq 0.$ Точка $x=0$ является точкой разрыва первого рода, ибо

$\lim \limits _{x\to 0-}f(x)=-1\neq 1=\lim \limits _{x\to 0+}f(x).$

• Функция

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{x}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{matrix}}\right.$

непрерывна в любом $x\neq 0.$ Точка $x=0$ является точкой разрыва второго рода, ибо, например,

$\lim \limits _{x\to 0-}f(x)=-\infty .$

Односторонне непрерывная числовая функция

• Пусть дана функция $f:M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$ и $a\in M.$ Тогда говорят, что $f$ непреры́вна спра́ва в точке $a,$ если $\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in M$

  $(|x-a|<\delta \wedge x\geq a)\Rightarrow (|f(x)-f(a)|<\varepsilon ).$

• Говорят, что $f$ непреры́вна сле́ва в точке $a,$ если $\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in M$

  $(|x-a|<\delta \wedge x\leq a)\Rightarrow (|f(x)-f(a)|<\varepsilon ).$

Замечания

• Функция непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна одновременно справа и слева.
• Функция непрерывна справа в предельной точке области определения тогда и только тогда, когда cуществует правосторонний предел

$\lim \limits _{x\to a+}f(x)=f(a).$

• Функция непрерывна справа в предельной точке области определения тогда и только тогда, когда cуществует левосторонний предел

$\lim \limits _{x\to a-}f(x)=f(a).$

• Все базовые свойства непрерывных функций переносятся на односторонне непрерывные функции.

Примеры

• Функция

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\geq 0\\0,&x<0\end{matrix}}\right.,\quad x\in \mathbb {R}$

непрерывна справа (но не слева) в точке $x=0.$ Во всех других точках она непрерывна.

• Кумулятивная функция распределения дискретной случайной величины в теории вероятностей непрерывна справа в любой точке.

Обобщения

Непрерывное отображение из R^m в Rⁿ

Обобщая одномерный случай, функция $f:M\subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ называется непрерывной в точке $a\in M,$ если $\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in M$

${\bigl (}\|x-a\|_{m}<\delta {\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}\|f(x)-f(a)\|_{n}<\varepsilon {\bigr )},$

где

$\|x\|_{k}\equiv {\sqrt {\sum \limits _{i=1}^{k}x_{i}^{2}}},\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{k})^{\top }\in \mathbb {R} ^{k}$ — евклидова норма в $\mathbb {R} ^{k}.$

Непрерывное отображение метрических пространств

В предыдущем определении наличие операции вычитания, точнее линейной структуры, в евклидовых пространствах не играет принципиальной роли. Достаточно лишь иметь возможность измерять расстояния. Множества, на которых указан способ измерять расстояния называются метрическими пространствами. Отображение $f:X\to Y$ метрического пространства $(X,\varrho _{X})$ в метрическое пространство $(Y,\varrho _{Y})$ называется непрерывным в точке $a$, если $\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in X$

${\Big (}\varrho _{X}(x,a)<\delta {\Big )}\Rightarrow {\Big (}\varrho _{Y}{\bigl (}f(x),f(a){\bigr )}<\varepsilon {\Big )}.$

Непрерывное отображение топологических пространств

В предыдущих определениях важно не наличие точной меры расстояния, а лишь понятия близости. Непрерывное отображение переводит близкие точки в близкие. Множество, в котором указан некоторый набор подмножеств ${\mathcal {T}}$, позволяющий говорить о близких точках, называется топологическим пространством. Отображение $f:X\to Y$ топологического пространства $(X,{\mathcal {T}}_{X})$ в топологическое пространство $(Y,{\mathcal {T}}_{Y})$ называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт:

$\forall V\in {\mathcal {T}}_{Y}\quad f^{-1}(V)\in {\mathcal {T}}_{X}.$

Cм. также

• Пространство непрерывных функций
• Общая топология
• Топологическое пространство
• Открытое отображение

Эта статья содержит материал из статьи Непрерывное отображение русской Википедии.