Математика
Advertisement

Цепная дробь (или непрерывная дробь) — это математическое выражение вид

где a0 есть целое число и все остальные an натуральные числа (т.е. положительные целые). Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Число представляется периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью.

Разложение в цепную дробь

Любое ненулевое вещественное число может быть представлено цепной дробью , где

где обозначает целую часть числа .

Для рационального числа это разложение оборвётся по достижению нулевого для некоторого n. В этом случае представляется конечной цепной дробью .

Для иррационального все величины будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае представляется бесконечной цепной дробью .

Подходящие дроби

n-ой подходящей дробью для цепной дроби , называется конечная цепная дробь , значение которой равно некоторому рациональному числу . Подходящие дроби с чётными номерами образуют возрастающую последовательность, предел которой равен . Аналогично, подходящие дроби с нечётными номерами образуют убывающую последовательность, предел которой также равен .

Эйлер вывел рекуррентные формулы для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей:

Таким образом, величины и представляются значениями континуант:

Последовательности и являются возрастающими.

Числители и знаменатели соседних подходящих дробей связаны соотношением

которое можно переписать в виде

Откуда следует, что

Приближение вещественных чисел рациональными

Цепные дроби позволяют эффективно находить хорошие рациональные приближения вещественных чисел. А именно, если вещественное число разложить в цепную дробь, то её подходящие дроби будут удовлетворять неравенству

Отсюда, в частности, следует, что мера иррациональности любого иррационального числа не меньше 2.

Свойства и примеры

  • Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной цепной дроби двумя способами, например:
  • Теорема Лагранжа: Число представляется в виде бесконечной периодической цепной дроби тогда и только тогда когда оно является иррациональным решением квадратного уравнения с целыми коэффициентами.
Например:
золотое сечение
  • Для некоторых чисел можно найти более сложную закономерность. Например, для основания натурального логарифма:
  • Для числа пи подобной закономерности не выявлено:
[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15,...]

Приложения цепных дробей

Ссылки

ca:Fracció contínua da:Kædebrøk nl:Kettingbreuk pl:Ułamek łańcuchowy pms:Frassion continuà sl:Verižni ulomek sv:Kedjebråk ta:தொடரும் பின்னம் th:เศษส่วนต่อเนื่อง vi:Phân số liên tục

Advertisement