Нейтральный элемент

Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — это элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении к ним этой бинарной операции.

Определение

Пусть $(M,\cdot)$ - множество $M$ с определённой на нём бинарной операцией $\cdot$. Элемент $e \in M$ называется нейтральным относительно $\cdot$, если

$x\cdot e=e\cdot x=x,\quad \forall x\in M.$

Иногда различают нейтральный слева элемент $e_{\mathrm {l} }$, для которого

$e_{\mathrm {l} }\cdot x=x,\quad \forall x\in M,$

и нейтральный справа элемент $e_{\mathrm {r} }$, для которого

$x\cdot e_{\mathrm {r} }=x,\quad \forall x\in M.$

Замечания

• Если существует только левый или только правый нейтральный элемент, то в общем случае их может быть больше одного. Если одновременно существуют левый и правый нейтральный элементы, то они совпадают.

• В приведённой выше мультипликативной нотации нейтральный элемент принято называть «единицей». Если для обозначения операции используется аддитивная нотация $+$, то нейтральный элемент называют «нулём».

Примеры

Множество	Бинарная операция	Нейтральный элемент
Вещественные числа	$+$ (сложение)	0
Вещественные числа	$\cdot$	1
Вещественные числа	$a^b$ (возведение в степень)	1 (нейтральный справа)
Матрицы размера $m \times n$	$+$ (матричное сложение)	нулевая матрица
Матрицы размера $n \times n$	$\cdot$ (матричное произведение)	единичная матрица
Функции вида $f:M\to M$	$\circ$ (композиция функций)	Тождественное отображение
Функции вида $f:M\to M$	* (свёртка)	$\delta$ (дельта-функция)
Символьные строки	конкатенация	пустая строка
Расширенная числовая прямая	$\min$ или $\inf$	$+\infty$
Расширенная числовая прямая	$\max$ или $\sup$	$-\infty$
Подмножества множества $M$	$\cap$ (пересечение множеств)	$M$
Множества	$\cup$ (объединение множеств)	$\emptyset$ (пустое множество)
Булева логика	$\wedge$ (логическое и)	$\top$ (истина)
Булева логика	$\lor$ (логическое или)	$\bot$ (ложь)

См. также

• Обратный элемент;
• Моноид;
• Группа.

ar:عنصر حيادي bg:Неутрален елемент ca:Element neutre cs:Neutrální prvek et:Ühikelement he:איבר יחידה hu:Neutrális elem lmo:Elemeent néutar nl:Neutraal element pl:Element neutralny simple:Identity element sk:Neutrálny prvok sl:Nevtralni element sr:Неутрал sv:Neutralt element uk:Нейтральний елемент vi:Phần tử đơn vị yi:נאטוראלע עלעמענט